العربية 🇲🇦 Français 🇫🇷
الجذع المشترك العلمي (السانكيام) 🎓

الحسابيات في المجموعة ℕ (IN) – جذع مشترك علمي : ملخص وتمارين مصححة ولعبة تفاعلية

لعبة مغامرة الحسابيات · استعد للفرض المحروس الأول في الرياضيات

XP 0
سلسلة 🔥 0
أرواح ❤️ ❤️❤️❤️

ملخص شامل لدرس الحسابيات في المجموعة ℕ (الجذع المشترك العلمي)

يعتبر درس الحسابيات في المجموعة ℕ (L'arithmétique dans ℕ) أول درس في مقرر الرياضيات للجذع المشترك العلمي والتكنولوجي بالمغرب. إليك أهم القواعد لضمان نقطة ممتازة في الفرض المحروس الأول :

1. الأعداد الزوجية والأعداد الفردية

  • • العدد الزوجي يكتب على شكل : n = 2k حيث k ∈ ℕ.
  • • العدد الفردي يكتب على شكل : n = 2k + 1.
  • • قاعدة ذهبية للامتحانات : جداء عددين صحيحين طبيعيين متتابعين n(n+1) هو دائماً عدد زوجي.

2. مصاديق قابلية القسمة

  • • القسمة على 2 : إذا كان رقم وحداته 0 أو 2 أو 4 أو 6 أو 8.
  • • القسمة على 3 أو 9 : إذا كان مجموع أرقامه من مضاعفات 3 أو 9.
  • • القسمة على 5 : إذا كان رقم وحداته 0 أو 5.

3. الأعداد الأولية (Nombres Premiers)

العدد الأولي هو كل عدد صحيح طبيعي أكبر قطعا من 1 لا يقبل القسمة إلا على 1 وعلى نفسه فقط (مثل: 2، 3، 5، 7، 11، 13، 17، 19...). انتبه: العدد 1 ليس عدداً أولياً!

4. القاسم المشترك الأكبر (PGCD) والمضاعف (PPCM)

  • • PGCD(a ; b) : جداء العوامل الأولية المشتركة فقط مرفوعة إلى أصغر أُس.
  • • PPCM(a ; b) : جداء العوامل الأولية المشتركة وغير المشتركة مرفوعة إلى أكبر أُس.
📐 الدرس الموالي : الحساب المتجهي (ملخص وتمارين ولعبة) 🧭 دليل اختيار الشعبة بعد الجذع المشترك 🧠 جرب أيضاً تحدي الذكاء والمنطق

أنهيت الحسابيات ؟ انتقل إلى الدرس الموالي في البرنامج : الحساب المتجهي في المستوى (علاقة شال، الاستقامية، منتصف قطعة).

درس تكميلي : القسمة الإقليدية، خوارزمية إقليدس، PGCD و PPCM

القسمة الإقليدية

a = b × q + r مع 0 ≤ r < b (b ≠ 0). الخارج q والباقي r وحيدان. b | a ⇔ r = 0. مثال : 2026 = 37 × 54 + 28. البواقي الممكنة عند القسمة على b هي 0 ، 1 ، … ، b − 1.

خوارزمية إقليدس

PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) حيث r باقي قسمة a على b. نكرر العملية حتى نحصل على باقٍ منعدم، فيكون PGCD هو آخر باقٍ غير منعدم. مثال : 252 = 198×1 + 54 ؛ 198 = 54×3 + 36 ؛ 54 = 36×1 + 18 ؛ 36 = 18×2 + 0 إذن PGCD(252 ; 198) = 18.

PGCD × PPCM والأعداد الأولية فيما بينها

PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b (لعددين فقط). يكون a و b أوليين فيما بينهما إذا كان PGCD(a ; b) = 1، وفي هذه الحالة يكون الكسر a/b غير قابل للاختزال.

PGCD و PPCM لثلاثة أعداد

PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c) وكذلك PPCM. بالتفكيك : PGCD هو جداء العوامل المشتركة بين الأعداد الثلاثة بأصغر أس، و PPCM هو جداء كل العوامل بأكبر أس. انتبه : العلاقة PGCD × PPCM = a × b × c خاطئة عند ثلاثة أعداد.

اختبار أولية عدد

إذا كان n ≥ 2 غير أولي فله قاسم أولي p بحيث p² ≤ n. مثال : 15² = 225 > 223 لذلك نختبر العدد 223 بالقسمة على 2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13.

كيف نتعرف على نوع المسألة

« توزيع بالتساوي » و « قص أكبر مربعات ممكنة » : PGCD. « لقاء في نفس الوقت » و « المرة القادمة » : PPCM.

📄 درس الحسابيات في ℕ بصيغة PDF (جذع مشترك)

درس كامل + 15 تمريناً للطباعة أو للمراجعة على الهاتف. مجاني.

تحميل ملف PDF

تمارين مصححة : الحسابيات في المجموعة ℕ (جذع مشترك)

حاول الحل أولاً، ثم انقر على السؤال لإظهار التصحيح.

1. أنجز القسمة الإقليدية للعدد 2026 على 37.

لدينا 37 × 54 = 1998 و 2026 − 1998 = 28، إذن 2026 = 37 × 54 + 28 مع 28 < 37.

2. فكّك العددين 756 و 1100 إلى جداء عوامل أولية.

756 = 2² × 3³ × 7 و 1100 = 2² × 5² × 11.

3. احسب PGCD(252 ; 198) بخوارزمية إقليدس ثم PPCM(252 ; 198).

252 = 198×1 + 54 ؛ 198 = 54×3 + 36 ؛ 54 = 36×1 + 18 ؛ 36 = 18×2 + 0. آخر باقٍ غير منعدم هو 18 إذن PGCD = 18. و PPCM = (252 × 198) ÷ 18 = 2772.

4. هل العدد 223 أولي ؟

بما أن 14² = 196 ≤ 223 < 225 = 15² نختبر القسمة على 2 و 3 و 5 و 7 و 11 و 13 : لا يقسمه أي منها، إذن 223 عدد أولي.

5. بيّن أنه إذا كان n فردياً فإن n² − 1 يقبل القسمة على 8.

نضع n = 2k + 1 فنجد n² − 1 = 4k(k + 1). و k(k + 1) زوجي لأنه جداء عددين متتابعين، إذن n² − 1 مضاعف لـ 8.

6. احسب PGCD و PPCM للأعداد 120 و 180 و 252.

120 = 2³×3×5 ؛ 180 = 2²×3²×5 ؛ 252 = 2²×3²×7. PGCD = 2² × 3 = 12 و PPCM = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2520.

فرض محروس رقم 1 مصحح : الحسابيات في ℕ (جذع مشترك)

المدة المقترحة : ساعة واحدة، على 20 نقطة، دون آلة حاسبة. حاول الحل أولاً ثم افتح التصحيح.

التمرين 1 (4 نقط) : حدد من بين الأعداد 2 و 3 و 4 و 5 و 9 و 11 تلك التي يقبل كل من 1287 و 2340 القسمة عليها.

1287 : فردي ؛ 1+2+8+7 = 18 إذن يقبل القسمة على 3 و 9 ؛ (7+2) − (8+1) = 0 إذن على 11 ؛ 87 ليس من مضاعفات 4 ؛ لا ينتهي بـ 0 أو 5. أما 2340 : ينتهي بـ 0 إذن على 2 و 5 ؛ 40 = 4×10 إذن على 4 ؛ 2+3+4+0 = 9 إذن على 3 و 9 ؛ (0+3) − (4+2) = −3 إذن لا يقبل القسمة على 11.

التمرين 2 (3 نقط) : أ) أنجز القسمة الإقليدية للعدد 3457 على 48. ب) ما هي القيم الممكنة للعدد a إذا كان خارج قسمته على 13 هو 21 ؟

أ) 48 × 72 = 3456 و 3457 − 3456 = 1 إذن 3457 = 48 × 72 + 1. ب) a = 13 × 21 + r = 273 + r مع 0 ≤ r ≤ 12 إذن a ∈ {273 ، … ، 285}.

التمرين 3 (5 نقط) : أ) فكك العددين 540 و 756. ب) احسب PGCD(540 ; 756) بخوارزمية إقليدس. ج) استنتج PPCM(540 ; 756) ثم بسّط الكسر 540/756.

أ) 540 = 2² × 3³ × 5 و 756 = 2² × 3³ × 7. ب) 756 = 540×1 + 216 ؛ 540 = 216×2 + 108 ؛ 216 = 108×2 + 0 إذن PGCD = 108. ج) PPCM = (540 × 756) ÷ 108 = 3780 و 540/756 = 5/7.

التمرين 4 (4 نقط) : تملك حلوانية 180 قرن غزال و 240 غريبة و 300 شباكية، وتريد تكوين أكبر عدد ممكن من العلب المتماثلة دون أن يتبقى شيء. كم علبة تكوّن وماذا تحتوي كل علبة ؟

180 = 2²×3²×5 ؛ 240 = 2⁴×3×5 ؛ 300 = 2²×3×5². PGCD = 2² × 3 × 5 = 60 علبة، تحتوي كل علبة على 3 قرون غزال و 4 غريبة و 5 شباكيات.

التمرين 5 (4 نقط) : بيّن أنه لكل n من ℕ، العدد n(n+1)(n+2) يقبل القسمة على 3.

نقسم n على 3 : n = 3k أو 3k+1 أو 3k+2. إذا كان n = 3k فإن 3 يقسم n. إذا كان n = 3k+1 فإن n+2 = 3(k+1). إذا كان n = 3k+2 فإن n+1 = 3(k+1). في كل الحالات أحد العوامل مضاعف لـ 3 إذن الجداء مضاعف لـ 3.

أسئلة شائعة حول الحسابيات في ℕ

كيف أعرف أن عدداً ما أولي ؟

نختبر قابلية قسمته على الأعداد الأولية p التي تحقق p² ≤ n. إذا لم يقسمه أي منها فهو أولي.

ما الفرق بين PGCD و PPCM ؟

PGCD هو أكبر قاسم مشترك (التوزيع بالتساوي)، و PPCM هو أصغر مضاعف مشترك غير منعدم (اللقاء الدوري).

كيف أحسب PGCD بخوارزمية إقليدس ؟

نجري قسمات إقليدية متتالية إلى أن نحصل على باقٍ منعدم، فيكون PGCD هو آخر باقٍ غير منعدم.

لماذا يكون n(n+1) زوجياً دائماً ؟

من بين عددين صحيحين متتابعين أحدهما زوجي، إذن جداؤهما زوجي.

هل هناك فرق بين الحسابيات في N وفي IN ؟

لا، فالرمزان IN و ℕ يدلان على نفس المجموعة، مجموعة الأعداد الصحيحة الطبيعية {0 ، 1 ، 2 ، …}.