ملخص شامل لدرس الحساب المتجهي في المستوى (بطاقة PDF)
تحميل ملف PDFيعد درس الحساب المتجهي في المستوى (Le calcul vectoriel dans le plan) من أهم دروس الهندسة في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي، حيث يُستعمل للبرهنة على توازي المستقيمات واستقامية النقط :
1. تساوي متجهتين وعلاقة شال (Chasles)
- • متوازي الأضلاع : AB = DC يعني أن الرباعي ABCD متوازي أضلاع.
- • مقابل متجهة : -AB = BA و AA = 0.
- • علاقة شال : لكل ثلاث نقط A, B, C : AB + BC = AC.
2. ضرب متجهة في عدد حقيقي k
- • لكل عددين حقيقيين a, b : a(u + v) = au + av.
- • (a + b)u = au + bu و ku = 0 ⇔ k = 0 أو u = 0.
3. استقامية متجهتين والتوازي واستقامية النقط
- • استقامية متجهتين : تكون u و v مستقيميتين إذا وجد عدد حقيقي k بحيث v = ku.
- • توازي مستقيمين : (AB) // (CD) ⇔ CD = kAB. (مع A ≠ B و C ≠ D)
- • استقامية ثلاث نقط : تكون A, B, C مستقيمية إذا كان AC = kAB. (مع A ≠ B)
4. الخاصية المميزة لمنتصف قطعة
- • تكون I منتصف القطعة [AB] إذا وفقط إذا كان : IA + IB = 0.
- • الخاصية المميزة : لكل نقطة M من المستوى : MA + MB = 2MI.
جدول ملخص : ماذا نريد أن نبين وما الشرط المتجهي المناسب ؟
| أريد أن أبين أن… | الشرط المتجهي | مثال على الاستنتاج |
|---|---|---|
| بيّن أن A و B و C مستقيمية | AC = kAB (مع A ≠ B) | AC = 4AB إذن A و B و C مستقيمية |
| بيّن أن (AB) // (CD) | CD = kAB (مع A ≠ B و C ≠ D) | EF = −3AB إذن (EF) // (AB) |
| بيّن أن ABCD متوازي أضلاع | AB = DC | AB = DC إذن ABCD متوازي أضلاع |
| بيّن أن I منتصف [AB] | IA + IB = 0 أو AI = IB | IA + IB = 0 إذن I منتصف [AB] |
| بيّن أن متجهتين مستقيميتان | v = ku | v = −3u إذن u و v مستقيميتان |
| بيّن أن G مركز ثقل المثلث ABC | GA + GB + GC = 0 | نستنتج أن AG = (2/3)AI حيث I منتصف [BC] |
| إنشاء نقطة M معرفة بعلاقة متجهية | AM = aAB + bAC | نثبت الأصل A ثم ننشئ aAB وبعدها bAC (علاقة شال) : M هي النهاية |
📝 سلسلة تمارين مع التصحيح : الحساب المتجهي في المستوى (الجذع المشترك العلمي)
تدرب على هذه التمارين الـ 7 الأساسية التي تطرح في فروض المراقبة المستمرة. أنجز التمرين في ورقة البحث ثم انقر على زر « عرض الحل » :
التمرين 1 (علاقة شال) : بسط التعبيرين المتجهيين U = AB - AC + BC و V = 2MA + AB - 2MB.
التمرين 2 (استقامية ثلاث نقط) : ليكن ABC مثلثاً، ونعتبر النقطتين E و F بحيث AE = 3AB و AF = 3AC - 6AB. بين أن النقط C و E و F مستقيمية.
التمرين 3 (توازي مستقيمين) : في مثلث ABC نضع AM = ¾AB و AN = ¾AC. بين أن المستقيمين (MN) و (BC) متوازيان.
التمرين 4 (الخاصية المميزة لمنتصف قطعة) : ليكن ABC مثلثاً، I منتصف [BC] و G نقطة تحقق GA + GB + GC = 0. عبر عن AG بدلالة AI.
التمرين 5 (تحديد البارامتر m) : حدد العدد الحقيقي m لكي تكون المتجهتان a = 3u - 4v و b = -6u + mv مستقيميتين.
التمرين 6 (إنشاء هندسي) : لتكن A و B و C ثلاث نقط غير مستقيمية. أنشئ النقطة M بحيث AM = 2AB - AC.
التمرين 7 (الإنشاء الهندسي لنقطة معرفة بعلاقة متجهية) : لتكن A و B نقطتين مختلفتين. أنشئ النقطة M التي تحقق 3MA - MB = 0.
تكملة الدرس : الحساب المتجهي في المستوى (جذع مشترك)
عموميات حول المتجهات
تتحدد المتجهة AB بثلاث معطيات : المنحى (حامل المستقيم (AB))، والاتجاه (من A نحو B)، والمنظم (الطول AB ويرمز له ‖AB‖ = AB). إذا كانت A = B فالمتجهة منعدمة : AA = 0.
قاعدة متوازي الأضلاع
إذا كان ABCD متوازي أضلاع فإن AB + AD = AC : مجموع متجهتين لهما نفس الأصل هو قطر متوازي الأضلاع المنشأ عليهما.
جداء متجهة في عدد حقيقي
لتكن u متجهة غير منعدمة و k عدداً حقيقياً غير منعدم. المتجهة ku لها نفس منحى u، ونفس اتجاهها إذا كان k > 0 واتجاهاً معاكساً إذا كان k < 0، ومنظمها يساوي |k| مرة منظم u. كما أن : a(bu) = (ab)u.
الاستقامية
تكون متجهتان غير منعدمتين u و v مستقيميتين إذا كان لهما نفس المنحى، أي إذا وُجد عدد حقيقي k بحيث u = kv. المتجهة المنعدمة مستقيمية مع كل متجهة من المستوى.
التوازي والاستقامية (نقط مختلفة مثنى مثنى)
لتكن A و B و C و D أربع نقط مختلفة مثنى مثنى : (AB) // (CD) تكافئ كون AB و CD مستقيميتين ؛ و A و B و C مستقيمية تكافئ كون AB و AC مستقيميتين.
منتصف قطعة : أربع خاصيات متكافئة
I منتصف [AB] تكافئ IA + IB = 0 تكافئ AI = IB تكافئ AI = (1/2)AB. ولكل نقطة M : MA + MB = 2MI.
قراءة متجهة بدلالة (i, j)
بالقراءة المبيانية على شبكة مربعات نكتب متجهة على الشكل u = ai + bj : نعدّ عدد المربعات أفقياً (a) ثم عمودياً (b).
الفرض المحروس رقم 1 الدورة الأولى مصحح : الحساب المتجهي في المستوى جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 4 + 4 + 5 + 4 + 3 = 20 نقطة. حاول الحل أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (4 نقط) : بسّط ما يلي : U = AB + CD + BC + DA و V = 2MA − 2MB + 3AB.
U = (AB + BC) + (CD + DA) = AC + CA = 0 (نقطتان). V = 2(MA − MB) + 3AB = 2(MA + BM) + 3AB = 2BA + 3AB = −2AB + 3AB = AB (نقطتان).
التمرين 2 (4 نقط) : ABCD متوازي أضلاع مركزه O. 1) بيّن أن AB + AD = 2AO. 2) استنتج أن OA + OB + OC + OD = 0.
1) حسب قاعدة متوازي الأضلاع : AB + AD = AC. و O منتصف [AC] إذن AC = 2AO ومنه AB + AD = 2AO (نقطتان). 2) O منتصف [AC] إذن OA + OC = 0 ، و O منتصف [BD] إذن OB + OD = 0. بالجمع : OA + OB + OC + OD = 0 (نقطتان).
التمرين 3 (5 نقط) : ABC مثلث. D و E نقطتان بحيث AD = (3/2)AB و CE = (3/2)CB. 1) عبّر عن CB بدلالة AB و AC. 2) بيّن أن DE = −(1/2)AC. 3) ماذا تستنتج بخصوص المستقيمين (DE) و (AC) ؟
1) CB = CA + AB = −AC + AB (1,5 نقطة). 2) DE = DA + AC + CE = −(3/2)AB + AC + (3/2)(AB − AC) = −(1/2)AC (2,5 نقطة). 3) المتجهتان DE و AC مستقيميتان إذن (DE) // (AC) (نقطة واحدة).
التمرين 4 (4 نقط) : ABC مثلث، I منتصف [AB] و J منتصف [AC]. 1) بيّن أن IJ = (1/2)BC. 2) استنتج أن (IJ) // (BC).
1) I منتصف [AB] إذن IA = (1/2)BA و J منتصف [AC] إذن AJ = (1/2)AC. ومنه IJ = IA + AJ = (1/2)(BA + AC) = (1/2)BC (2,5 نقطة). 2) المتجهتان IJ و BC مستقيميتان إذن (IJ) // (BC) (1,5 نقطة).
التمرين 5 (3 نقط) : u و v متجهتان غير مستقيميتين. حدد العدد الحقيقي m لكي تكون المتجهتان a = 2u − 3v و b = (m + 1)u + 6v مستقيميتين.
يوجد k بحيث b = ka أي (m + 1)u + 6v = 2ku − 3kv. بما أن u و v غير مستقيميتين فإن 6 = −3k أي k = −2، ثم m + 1 = 2k = −4 إذن m = −5 (3 نقط).
طرق أساسية لإنجاح فرض الحساب المتجهي
كيف نبين أن ثلاث نقط A و B و C مستقيمية
نعبّر عن المتجهتين AB و AC بواسطة علاقة شال، ثم نبحث عن عدد حقيقي k بحيث AC = k × AB (مع A ≠ B).
كيف نبين أن المستقيمين (AB) و (CD) متوازيان
نبحث عن عدد حقيقي k بحيث CD = k × AB (مع A ≠ B و C ≠ D). المتجهتان الموجهتان مستقيميتان إذن المستقيمان متوازيان أو منطبقان.
كيف نبين أن ABCD متوازي أضلاع
نبين أن المتجهة AB تساوي المتجهة DC (أو أن AD = BC).
كيف نبين أن I منتصف [AB]
نبين أن IA + IB = المتجهة المنعدمة، أو أن AI = IB، أو أن AB = 2 × AI.
كيف نبسط مجموع متجهات
ندخل نقطة مشتركة بواسطة علاقة شال، ونعوّض − XY بـ YX، ثم نجمع الحدود المتشابهة.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ كتابة AB = BA : الصحيح هو AB = − BA (المتجهة ومقابلها).
- ⚠️ الخلط بين المتجهة AB والمسافة AB.
- ⚠️ عدم احترام ترتيب الأحرف : AB + BC = AC لكن AB + CB لا تُبسَّط مباشرة.
- ⚠️ استنتاج تساوي متجهتين بينما هما مستقيميتان فقط (k يختلف عن 1).
- ⚠️ استعمال AC = k × AB لإثبات الاستقامية دون التحقق من أن A ≠ B.
أسئلة شائعة حول الحساب المتجهي
ما هي علاقة شال ؟
لكل ثلاث نقط A و B و C من المستوى : المتجهة AB + المتجهة BC = المتجهة AC. نربط المتجهات بحيث يتطابق الحرف الوسيط.
كيف نبين أن ثلاث نقط مستقيمية باستعمال المتجهات ؟
تكون النقط A و B و C (مع A ≠ B) مستقيمية إذا وفقط إذا وُجد عدد حقيقي k بحيث AC = k × AB.
كيف نبين أن مستقيمين متوازيان باستعمال المتجهات ؟
يكون المستقيمان (AB) و (CD) متوازيين إذا كان CD = k × AB (مع A ≠ B و C ≠ D) لأن متجهتيهما الموجهتين مستقيميتان.
ما هي الخاصية المتجهية المميزة لمنتصف قطعة ؟
تكون I منتصف [AB] إذا وفقط إذا كان IA + IB = المتجهة المنعدمة. ولكل نقطة M من المستوى : MA + MB = 2 × MI.
ما الفرق بين تساوي متجهتين واستقامية متجهتين ؟
المتجهتان المتساويتان لهما نفس المنحى ونفس الاتجاه ونفس المنظم. أما المتجهتان المستقيميتان فلهما نفس المنحى : v = k × u مع k عدد حقيقي كيفي (k = 1 في حالة التساوي).