Résumé du Cours : Calcul Vectoriel dans le Plan (Fiche PDF)
Télécharger le PDFLe chapitre du calcul vectoriel dans le plan est essentiel en géométrie pour le Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF). Il permet de démontrer facilement le parallélisme de deux droites et l'alignement de trois points :
1. Égalité, Opposé et Relation de Chasles
- • Parallélogramme : AB = DC équivaut à dire que ABCD est un parallélogramme.
- • Vecteur opposé : -AB = BA et AA = 0.
- • Relation de Chasles : Pour tous points A, B, C du plan : AB + BC = AC.
2. Produit d'un vecteur par un réel k
- • Pour tous réels a, b et vecteurs u, v : a(u + v) = au + av.
- • (a + b)u = au + bu et ku = 0 ⇔ k = 0 ou u = 0.
3. Colinéarité, Parallélisme et Alignement
- • Vecteurs colinéaires : u et v sont colinéaires s'il existe k ∈ ℝ tel que v = ku.
- • Droites parallèles : (AB) // (CD) ⇔ CD = kAB. (avec A ≠ B et C ≠ D)
- • Points alignés : A, B, C sont alignés ⇔ AC = kAB. (avec A ≠ B)
4. Caractérisation du Milieu d'un segment
- • I est le milieu de [AB] si et seulement si : IA + IB = 0 (ou AI = IB = ½AB).
- • Propriété caractéristique : Pour tout point M du plan : MA + MB = 2MI.
Tableau récapitulatif : que démontrer et avec quelle condition vectorielle ?
| Je veux montrer que… | Condition vectorielle | Exemple de conclusion |
|---|---|---|
| Montrer que A, B et C sont alignés | AC = kAB (A ≠ B) | AC = 4AB, donc A, B et C sont alignés |
| Montrer que (AB) // (CD) | CD = kAB (A ≠ B, C ≠ D) | EF = −3AB, donc (EF) // (AB) |
| Montrer que ABCD est un parallélogramme | AB = DC | AB = DC, donc ABCD est un parallélogramme |
| Montrer que I est le milieu de [AB] | IA + IB = 0 ou AI = IB | IA + IB = 0, donc I est le milieu de [AB] |
| Montrer que deux vecteurs sont colinéaires | v = ku | v = −3u, donc u et v sont colinéaires |
| Montrer que G est le centre de gravité de ABC | GA + GB + GC = 0 | On en déduit AG = (2/3)AI où I est le milieu de [BC] |
| Construire un point M défini par une relation vectorielle | AM = aAB + bAC | On fixe l’origine A, on place aAB puis, à la suite, bAC (relation de Chasles) : M est l’extrémité |
📝 Série d'Exercices Corrigés : Calcul Vectoriel dans le Plan (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 7 exercices incontournables de contrôle sur le calcul vectoriel. Rédigez votre solution au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé » :
Exercice 1 (Relation de Chasles) : Simplifier les expressions vectorielles U = AB - AC + BC et V = 2MA + AB - 2MB.
Exercice 2 (Démontrer que 3 points sont alignés) : Soit ABC un triangle. On définit E et F par AE = 3AB et AF = 3AC - 6AB. Montrer que C, E et F sont alignés.
Exercice 3 (Parallélisme de deux droites) : Dans un triangle ABC, soit M et N tels que AM = ¾AB et AN = ¾AC. Montrer que (MN) // (BC).
Exercice 4 (Milieu d'un segment) : Soit ABC un triangle, I le milieu de [BC] et G tel que GA + GB + GC = 0. Exprimer AG en fonction de AI.
Exercice 5 (Colinéarité et paramètre réel m) : Soient u et v non colinéaires. Déterminer le réel m pour que a = 3u - 4v et b = -6u + mv soient colinéaires.
Exercice 6 (Construction) : soit A, B et C trois points non alignés. Construire le point M tel que AM = 2AB - AC.
Exercice 7 (Construire le point M tel que...) : Soient A et B deux points distincts. Construire le point M vérifiant 3MA - MB = 0.
Complément de cours : calcul vectoriel dans le plan (Tronc Commun)
Généralités sur les vecteurs
Un vecteur AB est défini par trois données : une direction (celle de la droite (AB)), un sens (de A vers B) et une norme (la longueur AB, notée ‖AB‖ = AB). Si A = B, le vecteur est nul : AA = 0.
Règle du parallélogramme
Si ABCD est un parallélogramme, alors AB + AD = AC : la somme de deux vecteurs de même origine est la diagonale du parallélogramme qu’ils construisent.
Produit d’un vecteur par un réel
Pour un vecteur u non nul et un réel k non nul, le vecteur ku a la même direction que u, le même sens si k > 0 et le sens contraire si k < 0, et sa norme vaut |k| fois celle de u. On a aussi a(bu) = (ab)u.
Colinéarité
Deux vecteurs non nuls u et v sont colinéaires s’ils ont la même direction, c’est-à-dire s’il existe un réel k tel que u = kv. Le vecteur nul est colinéaire à tout vecteur du plan.
Parallélisme et alignement (points distincts)
Pour quatre points A, B, C, D deux à deux distincts : (AB) // (CD) équivaut à AB et CD colinéaires ; A, B, C sont alignés équivaut à AB et AC colinéaires.
Milieu : quatre propriétés équivalentes
I est le milieu de [AB] ⇔ IA + IB = 0 ⇔ AI = IB ⇔ AI = (1/2)AB. De plus, pour tout point M : MA + MB = 2MI.
Lire un vecteur dans la base (i, j)
Par lecture graphique sur un quadrillage, on écrit un vecteur sous la forme u = ai + bj : on compte les carreaux à parcourir horizontalement (a) puis verticalement (b).
Devoir surveillé n°1 (1er semestre) corrigé : calcul vectoriel dans le plan, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 4 + 4 + 5 + 4 + 3 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (4 pts) : Simplifier : U = AB + CD + BC + DA et V = 2MA − 2MB + 3AB.
U = (AB + BC) + (CD + DA) = AC + CA = 0 (2 pts). V = 2(MA − MB) + 3AB = 2(MA + BM) + 3AB = 2BA + 3AB = −2AB + 3AB = AB (2 pts).
Exercice 2 (4 pts) : ABCD est un parallélogramme de centre O. 1) Montrer que AB + AD = 2AO. 2) En déduire que OA + OB + OC + OD = 0.
1) Règle du parallélogramme : AB + AD = AC. O est le milieu de [AC], donc AC = 2AO et AB + AD = 2AO (2 pts). 2) O milieu de [AC] : OA + OC = 0 ; O milieu de [BD] : OB + OD = 0. En additionnant : OA + OB + OC + OD = 0 (2 pts).
Exercice 3 (5 pts) : ABC est un triangle. D et E sont tels que AD = (3/2)AB et CE = (3/2)CB. 1) Exprimer CB en fonction de AB et AC. 2) Montrer que DE = −(1/2)AC. 3) Que peut-on dire des droites (DE) et (AC) ?
1) CB = CA + AB = −AC + AB (1,5 pt). 2) DE = DA + AC + CE = −(3/2)AB + AC + (3/2)(AB − AC) = −(1/2)AC (2,5 pts). 3) DE et AC sont colinéaires, donc (DE) // (AC) (1 pt).
Exercice 4 (4 pts) : ABC est un triangle, I le milieu de [AB] et J le milieu de [AC]. 1) Montrer que IJ = (1/2)BC. 2) En déduire que (IJ) // (BC).
1) I milieu de [AB] donc IA = (1/2)BA ; J milieu de [AC] donc AJ = (1/2)AC. Ainsi IJ = IA + AJ = (1/2)(BA + AC) = (1/2)BC (2,5 pts). 2) IJ et BC sont colinéaires, donc (IJ) // (BC) (1,5 pt).
Exercice 5 (3 pts) : u et v sont deux vecteurs non colinéaires. Déterminer le réel m pour que a = 2u − 3v et b = (m + 1)u + 6v soient colinéaires.
Il existe k tel que b = ka, soit (m + 1)u + 6v = 2ku − 3kv. Comme u et v ne sont pas colinéaires, on identifie : 6 = −3k donc k = −2, puis m + 1 = 2k = −4, donc m = −5 (3 pts).
Méthodes types pour réussir le contrôle de calcul vectoriel
Montrer que trois points A, B et C sont alignés
On exprime les vecteurs AB et AC avec la relation de Chasles, puis on cherche un réel k tel que AC = k × AB (avec A ≠ B).
Montrer que deux droites (AB) et (CD) sont parallèles
On cherche un réel k tel que CD = k × AB (avec A ≠ B et C ≠ D). Les vecteurs directeurs sont colinéaires, donc les droites sont parallèles ou confondues.
Montrer que ABCD est un parallélogramme
On montre que le vecteur AB est égal au vecteur DC (ou que AD = BC).
Montrer que I est le milieu de [AB]
On montre que IA + IB = vecteur nul, ou que AI = IB, ou que AB = 2 × AI.
Simplifier une somme de vecteurs
On introduit un point commun avec la relation de Chasles, on remplace − XY par YX, puis on regroupe les termes semblables.
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Écrire AB = BA : en réalité AB = − BA (un vecteur et son opposé).
- ⚠️ Confondre le vecteur AB et la longueur AB.
- ⚠️ Ne pas respecter l’ordre des lettres : AB + BC = AC, mais AB + CB ne se simplifie pas directement.
- ⚠️ Conclure que deux vecteurs sont égaux alors qu’ils sont seulement colinéaires (k différent de 1).
- ⚠️ Utiliser AC = k × AB pour prouver l’alignement sans vérifier que A ≠ B.
Questions fréquentes sur le calcul vectoriel
Qu’est-ce que la relation de Chasles ?
Pour tous points A, B et C du plan, le vecteur AB plus le vecteur BC est égal au vecteur AC. On enchaîne les vecteurs en faisant coïncider la lettre intermédiaire.
Comment montrer que trois points sont alignés avec les vecteurs ?
Trois points A, B et C (avec A ≠ B) sont alignés si et seulement s’il existe un réel k tel que le vecteur AC est égal à k fois le vecteur AB.
Comment montrer que deux droites sont parallèles avec les vecteurs ?
Les droites (AB) et (CD) sont parallèles lorsque le vecteur CD est égal à k fois le vecteur AB (avec A ≠ B et C ≠ D) : leurs vecteurs directeurs sont colinéaires.
Quelle est la caractérisation vectorielle du milieu d’un segment ?
I est le milieu de [AB] si et seulement si le vecteur IA plus le vecteur IB est le vecteur nul. Pour tout point M du plan, MA plus MB est égal à 2 fois MI.
Quelle est la différence entre vecteurs égaux et vecteurs colinéaires ?
Deux vecteurs égaux ont même direction, même sens et même norme. Deux vecteurs colinéaires ont la même direction : v = k × u avec k réel quelconque (k = 1 pour l’égalité).