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Tronc Commun Scientifique (5ème Année) 🎓

Arithmétique dans N (IN) – Tronc Commun : cours, exercices corrigés et jeu interactif

Jeu Arithmé-Quest · Arithmétique dans IN (ℕ) · Prépare le contrôle n°1 de maths

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Résumé du Cours : L'Arithmétique dans ℕ (Tronc Commun)

Ce chapitre est le premier pilier du programme de mathématiques du Tronc Commun Scientifique et Technologique (5ème année au Maroc). Voici les règles essentielles à maîtriser pour vos contrôles continus :

1. Nombres Pairs et Impairs

  • • Un entier n est pair s'il s'écrit n = 2k (k ∈ ℕ).
  • • Un entier n est impair s'il s'écrit n = 2k + 1.
  • • Astuce classique : Le produit de deux entiers consécutifs n(n+1) est toujours pair.

2. Critères de Divisibilité

  • • Par 2 : se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • • Par 3 (ou 9) : la somme de ses chiffres est un multiple de 3 (ou de 9).
  • • Par 5 : se termine par 0 ou 5.

3. Nombres Premiers

Un entier naturel supérieur ou égal à 2 est dit premier s'il admet exactement deux diviseurs : 1 et lui-même (Ex: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23...). Attention : 1 n'est pas un nombre premier !

4. PGCD et PPCM

  • • PGCD(a ; b) : Produit des facteurs premiers communs affectés du plus petit exposant.
  • • PPCM(a ; b) : Produit des facteurs premiers communs et non communs affectés du plus grand exposant.
📐 Chapitre suivant : Calcul vectoriel (cours, exercices et jeu) 🧭 Guide : Choisir sa filière après le Tronc Commun 🧠 Essayer aussi le Défi Logique & QI

Tu as terminé l’arithmétique ? Passe au chapitre suivant du programme : le calcul vectoriel dans le plan (relation de Chasles, colinéarité, milieu d’un segment).

Cours complémentaire : division euclidienne, algorithme d’Euclide, PGCD et PPCM

Division euclidienne

a = b × q + r avec 0 ≤ r < b (b ≠ 0). Le quotient q et le reste r sont uniques. b | a ⇔ r = 0. Exemple : 2 026 = 37 × 54 + 28. Les restes possibles par b sont 0, 1, …, b − 1.

Algorithme d’Euclide

PGCD(a ; b) = PGCD(b ; r) où r est le reste de a par b. On répète jusqu’à un reste nul : le PGCD est le dernier reste non nul. Exemple : 252 = 198×1 + 54 ; 198 = 54×3 + 36 ; 54 = 36×1 + 18 ; 36 = 18×2 + 0, donc PGCD(252 ; 198) = 18.

PGCD × PPCM et premiers entre eux

PGCD(a ; b) × PPCM(a ; b) = a × b (pour deux nombres seulement). a et b sont premiers entre eux si PGCD(a ; b) = 1 ; la fraction a/b est alors irréductible.

PGCD et PPCM de trois nombres

PGCD(a, b, c) = PGCD(PGCD(a, b), c), de même pour le PPCM. Par décomposition : PGCD = facteurs communs aux trois avec le plus petit exposant ; PPCM = tous les facteurs avec le plus grand exposant. Attention : PGCD × PPCM = a × b × c est faux pour trois nombres.

Tester si n est premier

Si n ≥ 2 n’est pas premier, il admet un diviseur premier p tel que p² ≤ n. Exemple : 15² = 225 > 223, donc pour 223 on teste 2, 3, 5, 7, 11, 13.

Reconnaître le type de problème

« Partager en parts égales », « découper en carrés les plus grands » : PGCD. « Se retrouver en même temps », « la prochaine fois » : PPCM.

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Exercices corrigés : arithmétique dans N (Tronc Commun)

Cherche d’abord la solution, puis clique sur la question pour afficher la correction.

1. Effectuer la division euclidienne de 2 026 par 37.

37 × 54 = 1 998 et 2 026 − 1 998 = 28, donc 2 026 = 37 × 54 + 28 avec 28 < 37.

2. Décomposer 756 et 1 100 en produit de facteurs premiers.

756 = 2² × 3³ × 7 et 1 100 = 2² × 5² × 11.

3. Calculer PGCD(252 ; 198) par l’algorithme d’Euclide, puis PPCM(252 ; 198).

252 = 198×1 + 54 ; 198 = 54×3 + 36 ; 54 = 36×1 + 18 ; 36 = 18×2 + 0. Le dernier reste non nul est 18, donc PGCD = 18. PPCM = (252 × 198) ÷ 18 = 2 772.

4. 223 est-il un nombre premier ?

14² = 196 ≤ 223 < 225 = 15². On teste 2, 3, 5, 7, 11, 13 : aucun ne divise 223, donc 223 est premier.

5. Montrer que si n est impair, alors n² − 1 est divisible par 8.

On pose n = 2k + 1, d’où n² − 1 = 4k(k + 1). Or k(k + 1) est pair (produit de deux entiers consécutifs), donc n² − 1 est un multiple de 8.

6. Calculer PGCD et PPCM de 120, 180 et 252.

120 = 2³×3×5 ; 180 = 2²×3²×5 ; 252 = 2²×3²×7. PGCD = 2² × 3 = 12 et PPCM = 2³ × 3² × 5 × 7 = 2 520.

Devoir surveillé n°1 corrigé : arithmétique dans N (Tronc Commun)

Durée conseillée : 1 heure, sur 20 points, sans calculatrice. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.

Exercice 1 (4 pts) : Dire par lesquels des nombres 2, 3, 4, 5, 9 et 11 sont divisibles 1 287 et 2 340.

1 287 : impair ; 1+2+8+7 = 18, donc divisible par 3 et 9 ; (7+2) − (8+1) = 0, donc par 11 ; 87 n’est pas multiple de 4 ; ne finit pas par 0 ou 5. 2 340 : finit par 0, donc par 2 et 5 ; 40 = 4×10, donc par 4 ; 2+3+4+0 = 9, donc par 3 et 9 ; (0+3) − (4+2) = −3, donc pas par 11.

Exercice 2 (3 pts) : a) Effectuer la division euclidienne de 3 457 par 48. b) Quelles sont les valeurs possibles de a si le quotient de a par 13 est 21 ?

a) 48 × 72 = 3 456 et 3 457 − 3 456 = 1, donc 3 457 = 48 × 72 + 1. b) a = 13 × 21 + r = 273 + r avec 0 ≤ r ≤ 12, donc a ∈ {273, …, 285}.

Exercice 3 (5 pts) : a) Décomposer 540 et 756. b) Calculer PGCD(540 ; 756) par l’algorithme d’Euclide. c) En déduire PPCM(540 ; 756) et simplifier 540/756.

a) 540 = 2² × 3³ × 5 et 756 = 2² × 3³ × 7. b) 756 = 540×1 + 216 ; 540 = 216×2 + 108 ; 216 = 108×2 + 0, donc PGCD = 108. c) PPCM = (540 × 756) ÷ 108 = 3 780 et 540/756 = 5/7.

Exercice 4 (4 pts) : Une pâtissière a 180 cornes de gazelle, 240 ghribas et 300 chebakias. Elle veut faire le maximum de boîtes identiques sans reste. Combien de boîtes, et que contient chacune ?

180 = 2²×3²×5 ; 240 = 2⁴×3×5 ; 300 = 2²×3×5². PGCD = 2² × 3 × 5 = 60 boîtes, chacune avec 3 cornes de gazelle, 4 ghribas et 5 chebakias.

Exercice 5 (4 pts) : Montrer que pour tout n ∈ ℕ, n(n+1)(n+2) est divisible par 3.

On divise n par 3 : n = 3k, 3k+1 ou 3k+2. Si n = 3k, alors 3 | n. Si n = 3k+1, alors n+2 = 3(k+1). Si n = 3k+2, alors n+1 = 3(k+1). Dans tous les cas un facteur est multiple de 3, donc le produit l’est.

Questions fréquentes sur l’arithmétique dans N

Comment savoir si un nombre est premier ?

On teste sa divisibilité par les nombres premiers p tels que p² ≤ n. Si aucun ne divise n, alors n est premier.

Quelle est la différence entre PGCD et PPCM ?

Le PGCD est le plus grand diviseur commun (partage en parts égales). Le PPCM est le plus petit multiple commun non nul (rencontre périodique).

Comment calculer le PGCD avec l’algorithme d’Euclide ?

On effectue des divisions euclidiennes successives jusqu’à obtenir un reste nul. Le PGCD est le dernier reste non nul.

Pourquoi n(n+1) est-il toujours pair ?

Parmi deux entiers consécutifs, l’un est pair, donc leur produit est pair.

Y a-t-il une différence entre l’arithmétique dans N et dans IN ?

Non : IN et ℕ désignent le même ensemble, celui des entiers naturels {0, 1, 2, …}.