Résumé du Cours : La Projection dans le Plan
Télécharger le PDFLe chapitre de la projection dans le plan prolonge directement le calcul vectoriel en Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF). Il permet de traduire des relations vectorielles d'une droite sur une autre grâce aux droites parallèles :
1. Définition de la Projection et Cas particuliers
- • Soient (D) et (Δ) deux droites sécantes. Le projeté d'un point M sur (D) parallèlement à (Δ) est le point M' tel que M' ∈ (D) et (MM') // (Δ).
- • Point invariant : Si M ∈ (D), alors son projeté est lui-même (M' = M).
- • Projection orthogonale : Lorsque (D) ⊥ (Δ), on dit que M' est le projeté orthogonal de M sur (D).
2. Théorème de Thalès (Sens direct et Réciproque)
- • Si A', B', C' sont les projetés respectifs de trois points alignés A, B, C (avec (AB) non parallèle à (Δ), donc A' ≠ B') sur (D) parallèlement à (Δ), alors : A'C' / A'B' = AC / AB.
- • Conservation du milieu : Le projeté du milieu I d'un segment [AB] est le milieu I' du segment projeté [A'B'].
3. Conservation du Coefficient de Colinéarité
- • Théorème fondamental : La projection conserve le coefficient de colinéarité de deux vecteurs.
- • Si A', B', C', D' sont les projetés respectifs de A, B, C, D sur (D) parallèlement à (Δ) et si CD = kAB, alors : C'D' = kA'B'.
4. Réciproque du Coefficient de Colinéarité
- • Attention : La réciproque n'est vraie que sous condition !
- • Si A', B', M' sont les projetés de A, B, M, que A'M' = kA'B' ET que M appartient à la droite (AB) (avec (AB) non parallèle à (Δ)), alors AM = kAB.
La projection en un coup d'œil
Preuve : la projection conserve le milieu. Si I est le milieu de [AB], alors AI = ½ AB. Par conservation du coefficient, A'I' = ½ A'B' : I' est le milieu de [A'B'].
Vrai ou faux ? (1) Le projeté d'un point de (D) est ce point lui-même : vrai. (2) La projection conserve les longueurs : faux, elle conserve le milieu et le coefficient k. (3) Si (AB) // (Δ), alors A' = B' : vrai.
Tableau récapitulatif : propriétés de la projection dans le plan
| Objectif dans l’exercice | Propriété de la projection | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Déterminer le projeté M’ d’un point M | M’ ∈ (D) et (MM’) // (Δ) | Si M ∈ (D), alors M’ = M (point invariant) |
| Traduire une relation vectorielle par projection | Si CD = kAB alors C'D' = kA'B' | AM = (2/3)AB donne après projection A'M' = (2/3)A'B' |
| Montrer que I’ est le milieu de [A’B’] | I milieu de [AB] et I’ = p(I) | La projection conserve le milieu d’un segment |
| Projeté d’un vecteur parallèle à (Δ) | Si (AB) // (Δ), alors A’ = B’ | Le vecteur projeté est nul : A'B' = 0 |
| Réciproque du coefficient de colinéarité | A'M' = kA'B' ET M ∈ (AB) ET M’ = p(M) | Alors AM = kAB sur la droite de départ |
| Calculer une longueur avec Thalès | A, B, C alignés ⇒ A’C’ / A’B’ = AC / AB | Permet de calculer A’C’ connaissant AC, AB et A’B’ |
📝 Série d'Exercices Corrigés : La Projection dans le Plan (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables de contrôle sur la projection dans le plan. Rédigez votre solution au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé » :
Exercice 1 (Projetés dans un triangle) : Soit ABC un triangle. On considère la projection p sur la droite (BC) parallèlement à (AB). Déterminer p(A), p(B) et p(C), puis le projeté du milieu I de [AC].
Exercice 2 (Conservation du coefficient de colinéarité) : Soit ABC un triangle et M le point tel que AM = ⅔ AB. La droite passant par M et parallèle à (BC) coupe (AC) en N. Montrer que AN = ⅔ AC.
Exercice 3 (Trapèze et milieu des côtés) : Soit ABCD un trapèze de bases (AB) et (CD), et I le milieu de [AD]. La parallèle à (AB) passant par I coupe [BC] en J. Montrer que J est le milieu de [BC].
Exercice 4 (Parallélisme par les vecteurs) : Soit ABC un triangle, E un point de (AB) tel que AE = ¼ AB. Soit F le point de (BC) tel que BF = ¾ BC. Montrer que (EF) // (AC).
Exercice 5 (Projection orthogonale) : Soit ABC un triangle rectangle en A et H le projeté orthogonal de A sur (BC). Déterminer le projeté orthogonal du segment [AB] et du segment [AC] sur (BC).
Exercice 6 (Construction géométrique par projection) : Soit ABC un triangle et M le point tel que AM = (2/5)AB. Construire son projeté M' sur (AC) parallèlement à (BC) et calculer AM' si AC = 10 cm.
Complément de cours : la projection dans le plan (Tronc Commun)
Image d’un segment par une projection
L’image d’un segment [AB] par une projection p sur (D) parallèlement à (Δ) est le segment [A’B’], où A’ = p(A) et B’ = p(B). Si (AB) // (Δ), alors A’ = B’ et l’image se réduit à un point.
Théorème de la droite des milieux
Dans un triangle ABC, si I est le milieu de [AB], la droite passant par I et parallèle à (BC) coupe [AC] en son milieu J. C’est une conséquence directe de la conservation du milieu par projection.
Expression vectorielle du théorème de Thalès
Si A, B, C sont alignés tels que AC = kAB, alors leurs projetés A’, B’, C’ sur (D) parallèlement à (Δ) vérifient la même égalité vectorielle A'C' = kA'B'.
Condition d’application de la réciproque
Si A'M' = kA'B', on ne peut PAS conclure directement AM = kAB ! Il faut obligatoirement préciser que M ∈ (AB) et que M’ est le projeté de M.
Devoir surveillé n°1 (1er semestre) corrigé : la projection dans le plan, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : ABC est un triangle, M ∈ (AB) tel que AM = (3/4)AB. La parallèle à (BC) passant par M coupe (AC) en N. 1) Déterminer les projetés de A, B, M sur (AC) parallèlement à (BC). 2) En déduire que AN = (3/4)AC.
1) Par la projection p sur (AC) parallèlement à (BC) : p(A) = A, p(B) = C et p(M) = N (2,5 pts). 2) Comme AM = (3/4)AB et que p conserve le coefficient de colinéarité, on obtient AN = (3/4)AC (2,5 pts).
Exercice 2 (5 pts) : ABCD est un parallélogramme de centre O. Soit I le milieu de [AB]. La droite passant par I et parallèle à (BD) coupe (AC) en J. Montrer que J est le milieu de [AO].
Considérons la projection p sur (AC) parallèlement à (BD) : p(A) = A, p(B) = O (car O ∈ (AC) et (BO) = (BD)), et p(I) = J. Comme I est le milieu de [AB] et que p conserve le milieu, J est le milieu de [AO] (5 pts).
Exercice 3 (5 pts) : Soit ABC un triangle, E le point tel que BE = (1/3)BC et F le projeté de E sur (AB) parallèlement à (AC). 1) Montrer que BF = (1/3)BA. 2) En déduire que AF = (2/3)AB.
1) Par projection sur (AB) parallèlement à (AC) : p(B) = B, p(C) = A et p(E) = F. Donc BE = (1/3)BC donne BF = (1/3)BA (3 pts). 2) AF = AB + BF = AB − (1/3)AB = (2/3)AB (2 pts).
Exercice 4 (5 pts) : Dans l’exercice précédent, soit K le point de (AC) tel que AK = (2/3)AC. Montrer en utilisant la réciproque que (FK) // (BC).
Par projection p’ sur (AB) parallèlement à (BC) : p’(A) = A, p’(C) = B. Le projeté K’ de K vérifie AK' = (2/3)AB. Or AF = (2/3)AB, donc K’ = F. Ainsi le projeté de K sur (AB) parallèlement à (BC) est F, d’où (FK) // (BC) (5 pts).
Méthodes types pour réussir le contrôle sur la projection dans le plan
Choisir la bonne projection dans un exercice
On repère la droite sur laquelle se trouve la relation finale demandée : ce sera la droite de projection (D). La direction des droites parallèles de l’énoncé sera la direction (Δ).
Démontrer que A’M’ = k A’B’ à partir de AM = k AB
On cite la projection p sur (D) parallèlement à (Δ), on précise les projetés de A, B et M, puis on conclut par conservation du coefficient de colinéarité.
Démontrer qu’un point J est le milieu d’un segment
On montre que J est le projeté du milieu I d’un segment connu, puis on utilise la conservation du milieu par la projection.
Démontrer que deux droites (MN) et (BC) sont parallèles
On projette M sur (AC) parallèlement à (BC) en un point N’, on montre que AN’ = AN grâce au coefficient de colinéarité, d’où N’ = N et (MN) // (BC).
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Inverser la droite de projection (D) et la direction de projection (Δ) : le projeté appartient toujours à (D).
- ⚠️ Oublier que si un point A appartient déjà à (D), son projeté sur (D) est lui-même (p(A) = A).
- ⚠️ Penser que la projection conserve les longueurs : en général A’B’ ≠ AB, c’est le rapport (coefficient k) qui est conservé.
- ⚠️ Appliquer la réciproque du coefficient de colinéarité sans vérifier que le point appartient à la droite de départ.
Questions fréquentes sur la projection dans le plan
Qu’est-ce que le projeté d’un point M sur (D) parallèlement à (Δ) ?
Lorsque (D) et (Δ) sont deux droites sécantes, le projeté de M sur (D) parallèlement à (Δ) est l’unique point d’intersection M’ de la droite (D) avec la parallèle à (Δ) passant par M.
Que signifie la conservation du coefficient de colinéarité par projection ?
Si deux vecteurs vérifient CD = k × AB, alors leurs projetés respectifs sur une droite (D) parallèlement à (Δ) vérifient la même relation C’D’ = k × A’B’ avec le même réel k.
La projection dans le plan conserve-t-elle le milieu d’un segment ?
Oui, si I est le milieu du segment [AB], alors son projeté I’ sur (D) parallèlement à (Δ) est toujours le milieu du segment projeté [A’B’].
Quelle est la différence entre une projection parallèle et la projection orthogonale ?
La projection orthogonale est le cas particulier où la direction de projection (Δ) est perpendiculaire à la droite de projection (D).
Quel est le projeté d’un vecteur dont la droite est parallèle à la direction de projection ?
Si la droite (AB) est parallèle à la direction de projection (Δ), alors A et B ont le même projeté (A’ = B’) et le vecteur projeté A’B’ est le vecteur nul.