ملخص شامل لدرس الإسقاط في المستوى
تحميل ملف PDFيعتبر درس الإسقاط في المستوى (La projection dans le plan) امتداداً مباشراً لدرس الحساب المتجهي في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي، حيث يسمح بنقل العلاقات المتجهية من مستقيم إلى آخر باستعمال التوازي :
1. تعريف الإسقاط والحالات الخاصة
- • ليكن (D) و (Δ) مستقيمين متقاطعين. مسقط نقطة M على (D) بتوازٍ مع (Δ) هو النقطة M' بحيث M' ∈ (D) و (MM') // (Δ).
- • النقطة الصامدة : إذا كانت M ∈ (D) فإن مسقطها هو نفسها (M' = M).
- • الإسقاط العمودي : إذا كان (D) ⊥ (Δ) نسمي M' المسقط العمودي للنقطة M على (D).
2. مبرهنة طالس وحفظ منتصف قطعة
- • إذا كانت A', B', C' مساقط النقط المستقيمية A, B, C بالإسقاط على (D) بتوازٍ مع (Δ) فإن : A'C' / A'B' = AC / AB (بشرط أن (AB) غير موازٍ لـ (Δ)).
- • حفظ المنتصف : مسقط منتصف قطعة [AB] هو منتصف القطعة المسقطة [A'B'].
3. خاصية حفظ معامل الاستقامية
- • الخاصية الأساسية : الإسقاط يحفظ معامل استقامية متجهتين.
- • إذا كانت A', B', C', D' هي مساقط A, B, C, D على (D) بتوازٍ مع (Δ) وكان CD = kAB فإن : C'D' = kA'B'.
4. الخاصية العكسية لحفظ معامل الاستقامية
- • انتبه : الخاصية العكسية لا تصح إلا بشرط انتماء النقطة للمستقيم!
- • إذا كانت A'M' = kA'B' وكانت M تنتمي إلى المستقيم (AB) و M' مسقط M (و (AB) غير موازٍ لـ (Δ))، فإن AM = kAB.
الإسقاط في لمحة
البرهان : الإسقاط يحفظ المنتصف. إذا كانت I منتصف [AB] فإن AI = ½ AB. بحفظ معامل الاستقامية نجد A'I' = ½ A'B' أي I' منتصف [A'B'].
صحيح أم خطأ ؟ (1) مسقط نقطة من (D) هو النقطة نفسها : صحيح. (2) الإسقاط يحفظ المسافات : خطأ، فهو يحفظ المنتصف ومعامل الاستقامية k. (3) إذا كان (AB) // (Δ) فإن A' = B' : صحيح.
جدول ملخص : خاصيات الإسقاط في المستوى وطرق البرهنة
| الهدف في التمرين | خاصية الإسقاط المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| تحديد مسقط نقطة M على (D) بتوازٍ مع (Δ) | M’ ∈ (D) و (MM’) // (Δ) | إذا كانت M ∈ (D) فإن M’ = M (نقطة صامدة) |
| نقل علاقة متجهية بواسطة الإسقاط | إذا كان CD = kAB فإن C'D' = kA'B' | AM = (2/3)AB تعطي بالإسقاط A'M' = (2/3)A'B' |
| إثبات أن I’ منتصف القطعة [A’B’] | I منتصف [AB] و I’ مسقط I | الإسقاط يحفظ منتصف قطعة |
| مسقط متجهة موازية لاتجاه الإسقاط (Δ) | إذا كان (AB) // (Δ) فإن A’ = B’ | المتجهة المسقطة منعدمة : A'B' = 0 |
| الخاصية العكسية لمعامل الاستقامية | A'M' = kA'B' و M ∈ (AB) و M’ = p(M) | نستنتج أن AM = kAB على المستقيم الأصلي |
| حساب المسافات بمبرهنة طالس | A و B و C مستقيمية ⇒ A’C’ / A’B’ = AC / AB | حساب طول قطعة مسقطة بمعرفة النسب |
📝 سلسلة تمارين مع التصحيح : الإسقاط في المستوى (الجذع المشترك العلمي)
تدرب على هذه التمارين الـ 6 الأساسية التي تطرح في فروض المراقبة المستمرة. أنجز التمرين في ورقة البحث ثم انقر على زر « عرض الحل » :
التمرين 1 (تحديد المساقط في مثلث) : ليكن ABC مثلثاً، ونعتبر الإسقاط p على المستقيم (BC) بتوازٍ مع (AB). حدد p(A) و p(B) و p(C) ثم مسقط النقطة I منتصف [AC].
التمرين 2 (حفظ معامل الاستقامية) : ليكن ABC مثلثاً و M النقطة المعرفة بـ AM = ⅔ AB. المستقيم المار من M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N. بين أن AN = ⅔ AC.
التمرين 3 (شبه المنحرف وحفظ المنتصف) : ليكن ABCD شبه منحرف قاعدتاه (AB) و (CD)، و I منتصف [AD]. المستقيم المار من I والموازي لـ (AB) يقطع [BC] في J. بين أن J منتصف [BC].
التمرين 4 (التوازي بالمتجهات) : ليكن ABC مثلثاً، E نقطة من (AB) حيث AE = ¼ AB، و F نقطة من (BC) حيث BF = ¾ BC. بيّن أن (EF) // (AC).
التمرين 5 (الإسقاط العمودي) : ليكن ABC مثلثاً قائم الزاوية في A و H المسقط العمودي لـ A على (BC). حدد المسقط العمودي للقطعتين [AB] و [AC] على (BC).
التمرين 6 (إنشاء هندسي وحساب مسافة) : ليكن ABC مثلثاً و M النقطة بحيث AM = (2/5)AB. أنشئ مسقطها M' على (AC) بتوازٍ مع (BC) واحسب AM' علماً أن AC = 10 cm.
تكملة الدرس : الإسقاط في المستوى (جذع مشترك)
صورة قطعة بواسطة إسقاط
صورة قطعة [AB] بواسطة إسقاط p على (D) بتوازٍ مع (Δ) هي القطعة [A’B’] حيث A’ = p(A) و B’ = p(B). إذا كان (AB) // (Δ) فإن A’ = B’ وتختزل الصورة في نقطة واحدة.
مبرهنة مستقيم المنتصفين
في مثلث ABC، إذا كانت I منتصف [AB] فإن المستقيم المار من I والموازي لـ (BC) يقطع [AC] في منتصفها J. وهي نتيجة مباشرة لحفظ المنتصف بالإسقاط.
الصيغة المتجهية لمبرهنة طالس
إذا كانت A و B و C نقطاً مستقيمية بحيث AC = kAB فإن مساقطها A’ و B’ و C’ تحقق نفس العلاقة المتجهية A'C' = kA'B'.
شرط تطبيق الخاصية العكسية
إذا كان A'M' = kA'B' لا يمكن استنتاج AM = kAB مباشرة إلا إذا ذكرنا الشرطين : M ∈ (AB) و M’ هو مسقط M.
الفرض المحروس رقم 1 الدورة الأولى مصحح : الإسقاط في المستوى جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. حاول الحل أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : ABC مثلث، و M نقطة من (AB) بحيث AM = (3/4)AB. المستقيم المار من M والموازي لـ (BC) يقطع (AC) في N. 1) حدد مساقط A و B و M على (AC) بتوازٍ مع (BC). 2) استنتج أن AN = (3/4)AC.
1) بواسطة الإسقاط p على (AC) بتوازٍ مع (BC) : p(A) = A و p(B) = C و p(M) = N (2,5 نقط). 2) بما أن AM = (3/4)AB والإسقاط يحفظ معامل الاستقامية فإن AN = (3/4)AC (2,5 نقط).
التمرين 2 (5 نقط) : ABCD متوازي أضلاع مركزه O، و I منتصف [AB]. المستقيم المار من I والموازي لـ (BD) يقطع (AC) في J. بيّن أن J منتصف [AO].
نعتبر الإسقاط p على (AC) بتوازٍ مع (BD) : لدينا p(A) = A و p(B) = O (لأن O ∈ (AC) و (BO) = (BD)) و p(I) = J. بما أن I منتصف [AB] والإسقاط يحفظ المنتصف فإن J منتصف [AO] (5 نقط).
التمرين 3 (5 نقط) : ليكن ABC مثلثاً، و E النقطة المعرفة بـ BE = (1/3)BC و F مسقط E على (AB) بتوازٍ مع (AC). 1) بيّن أن BF = (1/3)BA. 2) استنتج أن AF = (2/3)AB.
1) بالإسقاط على (AB) بتوازٍ مع (AC) : p(B) = B و p(C) = A و p(E) = F. إذن BE = (1/3)BC تعطي BF = (1/3)BA (3 نقط). 2) AF = AB + BF = AB − (1/3)AB = (2/3)AB (نقطتان).
التمرين 4 (5 نقط) : في نفس التمرين، لتكن K النقطة من (AC) بحيث AK = (2/3)AC. بيّن أن (FK) // (BC).
بالإسقاط p’ على (AB) بتوازٍ مع (BC) : p’(A) = A و p’(C) = B. مسقط K هو K’ حيث AK' = (2/3)AB. ولدينا AF = (2/3)AB إذن K’ = F، ومنه مسقط K بتوازٍ مع (BC) هو F أي (FK) // (BC) (5 نقط).
طرق أساسية لإنجاح فرض الإسقاط في المستوى
كيف نختار الإسقاط المناسب في التمرين
نحدد المستقيم الذي توجد عليه العلاقة المطلوبة في السؤال فيكون هو مستقيم الإسقاط (D)، والمستقيمات المتوازية في المعطيات تحدد اتجاه الإسقاط (Δ).
كيف نبين أن A’M’ = k A’B’ انطلاقاً من AM = k AB
نسمي الإسقاط p على (D) بتوازٍ مع (Δ)، نحدد مساقط النقط A و B و M، ثم نستنتج العلاقة بخاصية حفظ معامل الاستقامية.
كيف نبين أن نقطة J هي منتصف قطعة
نبين أن J هي مسقط منتصف قطعة معلومة I، ثم نطبق خاصية حفظ المنتصف بواسطة الإسقاط.
كيف نبين توازي مستقيمين (MN) و (BC)
نعتبر N’ مسقط M على (AC) بتوازٍ مع (BC)، فنجد AN’ = AN ومنه N’ = N وبالتالي (MN) // (BC).
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ الخلط بين مستقيم الإسقاط (D) واتجاه الإسقاط (Δ) : المسقط ينتمي دائماً إلى المستقيم (D).
- ⚠️ نسيان أن كل نقطة تنتمي إلى (D) هي صامدة، أي مسقطها هو نفسها (p(A) = A).
- ⚠️ الاعتقاد بأن الإسقاط يحفظ المسافات : عموماً A’B’ ≠ AB، بل يحفظ معامل الاستقامية ونسب المسافات.
- ⚠️ تطبيق الخاصية العكسية لمعامل الاستقامية دون التحقق من انتماء النقطة إلى المستقيم الأصلي.
أسئلة شائعة حول الإسقاط في المستوى
ما هو مسقط نقطة M على مستقيم (D) بتوازٍ مع (Δ) ؟
إذا كان (D) و (Δ) مستقيمين متقاطعين، فإن مسقط M على (D) بتوازٍ مع (Δ) هو نقطة تقاطع المستقيم (D) مع المستقيم المار من M والموازي لـ (Δ).
ماذا تعني خاصية حفظ معامل الاستقامية بالإسقاط ؟
إذا كان CD = k × AB فإن مساقط هذه النقط على (D) بتوازٍ مع (Δ) تحقق نفس العلاقة المتجهية C’D’ = k × A’B’ بنفس العدد الحقيقي k.
هل يحفظ الإسقاط في المستوى منتصف قطعة ؟
نعم، إذا كانت I منتصف القطعة [AB] فإن مسقطها I’ هو دائماً منتصف القطعة المسقطة [A’B’].
ما الفرق بين الإسقاط بتوازٍ والإسقاط العمودي ؟
الإسقاط العمودي هو حالة خاصة من الإسقاط يكون فيها اتجاه الإسقاط (Δ) عمودياً على مستقيم الإسقاط (D).
ما هو مسقط متجهة حاملها يوازي اتجاه الإسقاط ؟
إذا كان المستقيم (AB) موازياً لاتجاه الإسقاط (Δ) فإن A و B لهما نفس المسقط (A’ = B’) وتكون المتجهة المسقطة A’B’ منعدمة.