ملخص شامل لدرس الترتيب في ℝ
تحميل ملف PDFدرس الترتيب في ℝ أساس المتراجحات والدوال والقيم المقربة في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي.
1. الترتيب والعمليات
- • a ≤ b ⇔ b − a ≥ 0 : مقارنة عددين حقيقيين تعني دراسة إشارة الفرق بينهما.
- • الجمع : a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ؛ وإذا كان a ≤ b و c ≤ d فإن a + c ≤ b + d.
- • الضرب : إذا كان c > 0 فإن a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ؛ وإذا كان c < 0 فإن a ≤ b ⇒ ac ≥ bc (ينعكس الترتيب).
- • إذا كان 0 ≤ a ≤ b و 0 ≤ c ≤ d فإن ac ≤ bd.
2. المربعات والجذور والمقلوبات
- • من أجل a ≥ 0 و b ≥ 0 : a ≤ b ⇔ a² ≤ b² ⇔ √a ≤ √b.
- • إذا كان 0 < a ≤ b فإن 1/b ≤ 1/a (ينعكس الترتيب).
- • لكل عددين حقيقيين a, b : a² + b² ≥ 2ab لأن (a − b)² ≥ 0.
3. المجالات
- • x ∈ [a, b] ⇔ a ≤ x ≤ b ؛ x ∈ ]a, b[ ⇔ a < x < b ؛ x ∈ ]−∞, a] ⇔ x ≤ a.
- • التقاطع I ∩ J : الأعداد x التي تنتمي إلى I و إلى J. الاتحاد I ∪ J : الأعداد x التي تنتمي إلى I أو إلى J.
- • مثال : [1, 4] ∩ [2, 7[ = [2, 4] و ]−∞, 2[ ∪ [1, 5] = ]−∞, 5].
4. القيمة المطلقة
- • |x| = x إذا كان x ≥ 0 ؛ |x| = −x إذا كان x < 0. إذن |x| ≥ 0 و |x| = √(x²).
- • |xy| = |x| × |y| ؛ المتفاوتة المثلثية : |x + y| ≤ |x| + |y|.
- • |x| = |y| ⇔ x = y أو x = −y. المسافة بين x و y هي |x − y|.
5. حل معادلات ومتراجحات بالقيمة المطلقة (r ≥ 0)
- • |x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r, a + r].
- • |x − a| ≥ r ⇔ x ≤ a − r أو x ≥ a + r.
- • |x − a| = r ⇔ x = a − r أو x = a + r.
6. التأطير والقيم المقربة
- • إذا كان a ≤ x ≤ b فهذا تأطير للعدد x سعته b − a ؛ a قيمة مقربة بتفريط و b قيمة مقربة بإفراط.
- • |x − a| ≤ ε تعني أن a قيمة مقربة للعدد x بدقة ε.
- • إذا كان a ≤ x ≤ b و c ≤ y ≤ d فإن a + c ≤ x + y ≤ b + d و a − d ≤ x − y ≤ b − c (في الفرق نعكس الحدود).
جدول ملخص : الترتيب والقيمة المطلقة والتأطير في ℝ
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| مقارنة عددين حقيقيين a و b | إشارة a − b | إذا كان a − b ≥ 0 فإن a ≥ b ؛ ومع الأعداد الموجبة يمكن مقارنة المربعات |
| ضرب متفاوتة في العدد c | c > 0 يحفظ الترتيب و c < 0 يعكسه | −2x ≤ 6 تعطي x ≥ −3 |
| المرور إلى المقلوبات | 0 < a ≤ b ⇒ 1/b ≤ 1/a | صالحة فقط لأعداد لها نفس الإشارة وغير منعدمة |
| حل |x − a| ≤ r | a − r ≤ x ≤ a + r | |x − 2| ≤ 3 تعطي x ∈ [−1, 5] |
| حل |x − a| ≥ r | x ≤ a − r أو x ≥ a + r | اتحاد مجالين |
| تأطير x + y و x − y | a + c ≤ x + y ≤ b + d ؛ a − d ≤ x − y ≤ b − c | في الفرق نعكس الحدود |
| قيمة مقربة بدقة ε | |x − a| ≤ ε | سعة التأطير هي b − a |
📝 سلسلة تمارين محلولة : الترتيب في ℝ (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول الترتيب في ℝ. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (مقارنة أعداد حقيقية) : 1) قارن 2√3 و 3√2. 2) بيّن أنه لكل عدد حقيقي x : x² + 4 ≥ 4x.
التمرين 2 (التأطير والعمليات) : نعلم أن 1 ≤ x ≤ 3 و −2 ≤ y ≤ 4. أطر x + y و x − y و 2x − 3y.
التمرين 3 (المجالات) : ليكن A = [−2, 5[ و B = ]1, 8] و C = ]−∞, 3]. حدد A ∩ B و A ∪ B و A ∩ C.
التمرين 4 (الحل باستعمال القيمة المطلقة) : حل في ℝ : 1) |x − 3| = 5 ؛ 2) |2x + 1| ≤ 7 ؛ 3) |x − 1| > 2.
التمرين 5 (الكتابة بدون قيمة مطلقة) : 1) بسّط A = |√5 − 3| + |√5 − 2|. 2) من أجل x ∈ [1, 3] بسّط B = |x − 3| + |x − 1|.
التمرين 6 (القيمة المقربة) : نعطي 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42. 1) أطر 3√2. 2) استنتج قيمة مقربة للعدد 3√2 بدقة 0,03 بتفريط.
تكملة الدرس : الترتيب والقيمة المطلقة في ℝ (جذع مشترك)
المتفاوتة المثلثية
لكل عددين حقيقيين x و y : |x + y| ≤ |x| + |y|. مثال : |3 + (−5)| = 2 ≤ |3| + |−5| = 8. تسمح بتحديد مجال تغير تعبير : إذا كان |x − 2| ≤ 4 فإن |x + 1| = |(x − 2) + 3| ≤ 4 + 3 = 7.
أكبر وأصغر عددين حقيقيين
max(a, b) = (a + b + |a − b|) / 2 و min(a, b) = (a + b − |a − b|) / 2. مثال مع a = 3 و b = 7 : (10 + 4) / 2 = 7 و (10 − 4) / 2 = 3.
الوسط الحسابي وجذر الجداء
من أجل a > 0 و b > 0 : √(ab) ≤ (a + b) / 2. نبرهن ذلك انطلاقاً من (a + b)² ≥ 4ab نتيجة (a − b)² ≥ 0.
التدوير والقيمة المقربة
بالنسبة إلى π ≈ 3,14159 : 3,14 ≤ π ≤ 3,15 تأطير سعته 0,01. إذن 3,14 قيمة مقربة للعدد π بدقة 0,01 بتفريط و 3,15 بإفراط.
الفرض المحروس رقم 1 الدورة الأولى مصحح : الترتيب في ℝ جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : ليكن a و b عددين حقيقيين. 1) بيّن أن a² + b² ≥ 2ab. 2) استنتج أن (a + b)² ≥ 4ab. 3) من أجل a > 0 و b > 0 بيّن أن (a + b)/2 ≥ √(ab).
1) a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0 (نقطتان). 2) (a + b)² = a² + b² + 2ab ≥ 2ab + 2ab = 4ab (1,5 نقطة). 3) العددان a + b و 2√(ab) موجبان و (a + b)² ≥ (2√(ab))² إذن a + b ≥ 2√(ab) و (a + b)/2 ≥ √(ab) (1,5 نقطة).
التمرين 2 (5 نقط) : حل في ℝ : 1) |2x − 4| = 6 ؛ 2) |x + 2| ≤ 3 ؛ 3) |3x − 1| ≥ 5.
1) 2x − 4 = 6 أو 2x − 4 = −6 إذن S = {−1, 5} (1,5 نقطة). 2) −3 ≤ x + 2 ≤ 3 ⇔ −5 ≤ x ≤ 1 إذن S = [−5, 1] (1,5 نقطة). 3) 3x − 1 ≥ 5 أو 3x − 1 ≤ −5 أي x ≥ 2 أو x ≤ −4/3 إذن S = ]−∞, −4/3] ∪ [2, +∞[ (نقطتان).
التمرين 3 (5 نقط) : نعطي −1 ≤ x ≤ 2 و 3 ≤ y ≤ 5. أطر : 1) x + y ؛ 2) x − y ؛ 3) 1/y ؛ 4) 2x − y.
1) 2 ≤ x + y ≤ 7 (نقطة). 2) −5 ≤ −y ≤ −3 إذن −6 ≤ x − y ≤ −1 (1,5 نقطة). 3) y موجب و 3 ≤ y ≤ 5 إذن 1/5 ≤ 1/y ≤ 1/3 (نقطة). 4) −2 ≤ 2x ≤ 4 و −5 ≤ −y ≤ −3 إذن −7 ≤ 2x − y ≤ 1 (1,5 نقطة).
التمرين 4 (5 نقط) : ليكن I = ]−3, 4] و J = [1, 6[. 1) حدد I ∩ J و I ∪ J. 2) بيّن أن x ∈ [−2, 6] ⇔ |x − 2| ≤ 4. 3) استنتج أنه إذا كان |x − 2| ≤ 4 فإن |x + 1| ≤ 7.
1) I ∩ J = [1, 4] و I ∪ J = ]−3, 6[ (نقطتان). 2) |x − 2| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 6 (1,5 نقطة). 3) |x + 1| = |(x − 2) + 3| ≤ |x − 2| + 3 ≤ 4 + 3 = 7 حسب المتفاوتة المثلثية (1,5 نقطة).
طرق أساسية لإنجاح فرض الترتيب في ℝ
مقارنة عددين حقيقيين
ندرس إشارة a − b. بالنسبة إلى عددين موجبين يحتويان على جذور نقارن مربعيهما (يُحفظ الترتيب لأنهما موجبان).
حل متراجحة بالقيمة المطلقة
نعيد المتراجحة إلى |x − a| ≤ r أو |x − a| ≥ r ثم نكتب تأطيراً أو متفاوتتين ترتبطان بـ « أو » وننهي بمجال أو اتحاد مجالات.
تأطير تعبير
نؤطر كل حد على حدة بالضرب في المعاملات (انتبه إلى المعاملات السالبة التي تعكس الترتيب) ثم نجمع المتفاوتات التي لها نفس الاتجاه.
الكتابة بدون قيمة مطلقة
نحدد إشارة التعبير داخل القيمة المطلقة : إذا كان موجباً نحتفظ به وإذا كان سالباً نأخذ مقابله.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ نسيان عكس اتجاه المتفاوتة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
- ⚠️ طرح تأطيرين حداً بحد : بالنسبة إلى x − y نستعمل a − d ≤ x − y ≤ b − c.
- ⚠️ المرور إلى المربع أو المقلوب دون التأكد من أن الأعداد موجبة (أو لها نفس الإشارة).
- ⚠️ الخلط بين « و » و « أو » : |x| ≥ r تعطي حالتين (x ≤ −r أو x ≥ r) وليس مجالاً واحداً.
- ⚠️ كتابة |x − a| ≤ r مع r < 0 : مجموعة الحلول فارغة حينئذ.
أسئلة شائعة حول الترتيب في ℝ
كيف نقارن عددين حقيقيين ؟
ندرس إشارة الفرق بينهما : a ≥ b تكافئ a − b ≥ 0. وبالنسبة إلى عددين موجبين يمكن أيضاً مقارنة مربعيهما.
لماذا ينعكس اتجاه المتفاوتة عند الضرب في عدد سالب ؟
الضرب في عدد سالب يقلب مستقيم الأعداد الحقيقية : 2 ≤ 5 لكن −2 ≥ −5. إذا كان a ≤ b و c < 0 فإن ac ≥ bc.
كيف نحل |x − a| ≤ r ؟
إذا كان r ≥ 0 فإن |x − a| ≤ r تكافئ a − r ≤ x ≤ a + r أي x ∈ [a − r, a + r]. مثلاً |x − 2| ≤ 3 تعطي x ∈ [−1, 5].
ما الفرق بين القيمة المقربة بتفريط وبإفراط ؟
إذا كان a ≤ x ≤ b فإن a قيمة مقربة للعدد x بتفريط و b قيمة مقربة بإفراط. وسعة التأطير b − a تعطي الدقة.
كيف نؤطر x − y علماً بتأطيرين للعددين x و y ؟
إذا كان a ≤ x ≤ b و c ≤ y ≤ d فإن a − d ≤ x − y ≤ b − c : نعكس حدي y.