Résumé du Cours : Ordre dans ℝ
Télécharger le PDFLe chapitre Ordre dans ℝ est la base des inéquations, des fonctions et des approximations en Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF).
1. Ordre et opérations
- • a ≤ b ⇔ b − a ≥ 0 : comparer deux réels, c’est étudier le signe de leur différence.
- • Addition : a ≤ b ⇒ a + c ≤ b + c ; si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d.
- • Multiplication : si c > 0, a ≤ b ⇒ ac ≤ bc ; si c < 0, a ≤ b ⇒ ac ≥ bc (l’ordre s’inverse).
- • Si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d, alors ac ≤ bd.
2. Carrés, racines et inverses
- • Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : a ≤ b ⇔ a² ≤ b² ⇔ √a ≤ √b.
- • Si 0 < a ≤ b, alors 1/b ≤ 1/a (l’ordre s’inverse).
- • Pour tous réels a, b : a² + b² ≥ 2ab, car (a − b)² ≥ 0.
3. Intervalles
- • x ∈ [a, b] ⇔ a ≤ x ≤ b ; x ∈ ]a, b[ ⇔ a < x < b ; x ∈ ]−∞, a] ⇔ x ≤ a.
- • Intersection I ∩ J : les x qui sont dans I et dans J. Réunion I ∪ J : les x qui sont dans I ou dans J.
- • Exemple : [1, 4] ∩ [2, 7[ = [2, 4] et ]−∞, 2[ ∪ [1, 5] = ]−∞, 5].
4. Valeur absolue
- • |x| = x si x ≥ 0 ; |x| = −x si x < 0. Donc |x| ≥ 0 et |x| = √(x²).
- • |xy| = |x| × |y| ; inégalité triangulaire : |x + y| ≤ |x| + |y|.
- • |x| = |y| ⇔ x = y ou x = −y. La distance de x à y est |x − y|.
5. Résoudre avec une valeur absolue (r ≥ 0)
- • |x − a| ≤ r ⇔ a − r ≤ x ≤ a + r ⇔ x ∈ [a − r, a + r].
- • |x − a| ≥ r ⇔ x ≤ a − r ou x ≥ a + r.
- • |x − a| = r ⇔ x = a − r ou x = a + r.
6. Encadrement et valeurs approchées
- • Si a ≤ x ≤ b, c’est un encadrement de x d’amplitude b − a ; a est une valeur approchée par défaut, b par excès.
- • |x − a| ≤ ε signifie que a est une valeur approchée de x à ε près.
- • Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d : a + c ≤ x + y ≤ b + d et a − d ≤ x − y ≤ b − c (on croise les bornes pour la différence).
Tableau récapitulatif : ordre, valeur absolue et encadrement dans ℝ
| Objectif dans l’exercice | Propriété utilisée | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Comparer deux réels a et b | Signe de a − b | Si a − b ≥ 0 alors a ≥ b ; pour des positifs, on peut comparer les carrés |
| Multiplier une inégalité par c | c > 0 conserve l’ordre ; c < 0 l’inverse | −2x ≤ 6 donne x ≥ −3 |
| Passer aux inverses | 0 < a ≤ b ⇒ 1/b ≤ 1/a | Valable seulement pour des réels de même signe strict |
| Résoudre |x − a| ≤ r | a − r ≤ x ≤ a + r | |x − 2| ≤ 3 donne x ∈ [−1, 5] |
| Résoudre |x − a| ≥ r | x ≤ a − r ou x ≥ a + r | Réunion de deux intervalles |
| Encadrer x + y et x − y | a + c ≤ x + y ≤ b + d ; a − d ≤ x − y ≤ b − c | Pour la différence, on croise les bornes |
| Valeur approchée à ε près | |x − a| ≤ ε | L’amplitude d’un encadrement est b − a |
📝 Série d’Exercices Corrigés : Ordre dans ℝ (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur l’ordre dans ℝ. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».
Exercice 1 (Comparer des réels) : 1) Comparer 2√3 et 3√2. 2) Montrer que pour tout réel x : x² + 4 ≥ 4x.
Exercice 2 (Encadrement et opérations) : On sait que 1 ≤ x ≤ 3 et −2 ≤ y ≤ 4. Encadrer x + y, x − y et 2x − 3y.
Exercice 3 (Intervalles) : Soient A = [−2, 5[, B = ]1, 8] et C = ]−∞, 3]. Déterminer A ∩ B, A ∪ B et A ∩ C.
Exercice 4 (Résoudre avec valeur absolue) : Résoudre dans ℝ : 1) |x − 3| = 5 ; 2) |2x + 1| ≤ 7 ; 3) |x − 1| > 2.
Exercice 5 (Écrire sans valeur absolue) : 1) Simplifier A = |√5 − 3| + |√5 − 2|. 2) Pour x ∈ [1, 3], simplifier B = |x − 3| + |x − 1|.
Exercice 6 (Valeur approchée) : On donne 1,41 ≤ √2 ≤ 1,42. 1) Encadrer 3√2. 2) En déduire une valeur approchée de 3√2 à 0,03 près par défaut.
Complément de cours : ordre et valeur absolue dans ℝ (Tronc Commun)
Inégalité triangulaire
Pour tous réels x et y, |x + y| ≤ |x| + |y|. Exemple : |3 + (−5)| = 2 ≤ |3| + |−5| = 8. Elle permet de majorer une expression : si |x − 2| ≤ 4, alors |x + 1| = |(x − 2) + 3| ≤ 4 + 3 = 7.
Maximum et minimum de deux réels
max(a, b) = (a + b + |a − b|) / 2 et min(a, b) = (a + b − |a − b|) / 2. Exemple avec a = 3 et b = 7 : (10 + 4) / 2 = 7 et (10 − 4) / 2 = 3.
Moyenne arithmétique et racine du produit
Pour a > 0 et b > 0 : √(ab) ≤ (a + b) / 2. On le démontre avec (a + b)² ≥ 4ab, conséquence de (a − b)² ≥ 0.
Arrondi et valeur approchée
Pour π ≈ 3,14159 : 3,14 ≤ π ≤ 3,15 est un encadrement d’amplitude 0,01. Donc 3,14 est une valeur approchée de π à 0,01 près par défaut et 3,15 par excès.
Devoir surveillé n°1 (1er semestre) corrigé : ordre dans ℝ, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : Soient a et b deux réels. 1) Montrer que a² + b² ≥ 2ab. 2) En déduire que (a + b)² ≥ 4ab. 3) Pour a > 0 et b > 0, montrer que (a + b)/2 ≥ √(ab).
1) a² + b² − 2ab = (a − b)² ≥ 0 (2 pts). 2) (a + b)² = a² + b² + 2ab ≥ 2ab + 2ab = 4ab (1,5 pt). 3) Les nombres a + b et 2√(ab) sont positifs et (a + b)² ≥ (2√(ab))², donc a + b ≥ 2√(ab) et (a + b)/2 ≥ √(ab) (1,5 pt).
Exercice 2 (5 pts) : Résoudre dans ℝ : 1) |2x − 4| = 6 ; 2) |x + 2| ≤ 3 ; 3) |3x − 1| ≥ 5.
1) 2x − 4 = 6 ou 2x − 4 = −6, donc S = {−1, 5} (1,5 pt). 2) −3 ≤ x + 2 ≤ 3 ⇔ −5 ≤ x ≤ 1, donc S = [−5, 1] (1,5 pt). 3) 3x − 1 ≥ 5 ou 3x − 1 ≤ −5, soit x ≥ 2 ou x ≤ −4/3, donc S = ]−∞, −4/3] ∪ [2, +∞[ (2 pts).
Exercice 3 (5 pts) : On donne −1 ≤ x ≤ 2 et 3 ≤ y ≤ 5. Encadrer : 1) x + y ; 2) x − y ; 3) 1/y ; 4) 2x − y.
1) 2 ≤ x + y ≤ 7 (1 pt). 2) −5 ≤ −y ≤ −3 donc −6 ≤ x − y ≤ −1 (1,5 pt). 3) y est positif et 3 ≤ y ≤ 5 donc 1/5 ≤ 1/y ≤ 1/3 (1 pt). 4) −2 ≤ 2x ≤ 4 et −5 ≤ −y ≤ −3 donc −7 ≤ 2x − y ≤ 1 (1,5 pt).
Exercice 4 (5 pts) : Soient I = ]−3, 4] et J = [1, 6[. 1) Déterminer I ∩ J et I ∪ J. 2) Montrer que x ∈ [−2, 6] ⇔ |x − 2| ≤ 4. 3) En déduire que si |x − 2| ≤ 4, alors |x + 1| ≤ 7.
1) I ∩ J = [1, 4] et I ∪ J = ]−3, 6[ (2 pts). 2) |x − 2| ≤ 4 ⇔ −4 ≤ x − 2 ≤ 4 ⇔ −2 ≤ x ≤ 6 (1,5 pt). 3) |x + 1| = |(x − 2) + 3| ≤ |x − 2| + 3 ≤ 4 + 3 = 7 par l’inégalité triangulaire (1,5 pt).
Méthodes types pour réussir le contrôle sur l’ordre dans ℝ
Comparer deux réels
On étudie le signe de a − b. Pour deux nombres positifs avec des racines, on compare leurs carrés (la comparaison est conservée car ils sont positifs).
Résoudre une inéquation avec valeur absolue
On se ramène à |x − a| ≤ r ou |x − a| ≥ r, puis on écrit un encadrement ou deux inégalités reliées par « ou », et on termine par un intervalle ou une réunion.
Encadrer une expression
On encadre chaque terme séparément en multipliant par les coefficients (attention aux coefficients négatifs qui inversent l’ordre), puis on additionne les inégalités de même sens.
Écrire sans valeur absolue
On détermine le signe de l’expression à l’intérieur : si elle est positive, on la garde ; si elle est négative, on prend son opposé.
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Oublier d’inverser le sens de l’inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- ⚠️ Soustraire deux encadrements terme à terme : pour x − y, on utilise a − d ≤ x − y ≤ b − c.
- ⚠️ Passer au carré ou à l’inverse sans vérifier que les nombres sont positifs (ou de même signe).
- ⚠️ Confondre « et » et « ou » : |x| ≥ r donne deux cas (x ≤ −r ou x ≥ r), pas un seul intervalle.
- ⚠️ Écrire |x − a| ≤ r avec r < 0 : l’ensemble des solutions est alors vide.
Questions fréquentes sur l’ordre dans ℝ
Comment comparer deux nombres réels ?
On étudie le signe de leur différence : a ≥ b équivaut à a − b ≥ 0. Pour deux nombres positifs, on peut aussi comparer leurs carrés.
Pourquoi l’inégalité change-t-elle de sens quand on multiplie par un nombre négatif ?
Multiplier par un négatif retourne la droite des réels : 2 ≤ 5 mais −2 ≥ −5. Si a ≤ b et c < 0, alors ac ≥ bc.
Comment résoudre |x − a| ≤ r ?
Si r ≥ 0, |x − a| ≤ r équivaut à a − r ≤ x ≤ a + r, c’est-à-dire x ∈ [a − r, a + r]. Par exemple |x − 2| ≤ 3 donne x ∈ [−1, 5].
Quelle différence entre une valeur approchée par défaut et par excès ?
Si a ≤ x ≤ b, a est une valeur approchée par défaut de x et b une valeur approchée par excès. L’amplitude b − a donne la précision.
Comment encadrer x − y connaissant des encadrements de x et de y ?
Si a ≤ x ≤ b et c ≤ y ≤ d, alors a − d ≤ x − y ≤ b − c : on croise les bornes de y.