نص الفرض وتصحيحه
تحميل الفرض مع التصحيح (PDF)ابحث عن كل تمرين في المسودة ثم اضغط على « عرض التصحيح ».
التمرين 1 : الحسابيات في ℕ (5 نقط)
1) بيّن أنه لكل n ∈ ℕ العدد n(n + 1) زوجي. (نقطة)
2) احسب PGCD(168, 252) بخوارزمية إقليدس ثم PPCM(168, 252). (نقطتان)
3) أنجز القسمة الإقليدية للعدد 2026 على 7. استنتج أصغر عدد صحيح طبيعي k بحيث يكون 2026 + k من مضاعفات 7. (نقطتان)
عرض التصحيح
• 1) إذا كان n زوجياً فإن n(n + 1) زوجي. وإذا كان n فردياً فإن n + 1 زوجي إذن الجداء زوجي. في الحالتين n(n + 1) زوجي.
• 2) 252 = 1 × 168 + 84 ثم 168 = 2 × 84 + 0. آخر باقٍ غير منعدم هو 84 : PGCD(168, 252) = 84. إذن PPCM(168, 252) = (168 × 252) / 84 = 504.
• 3) 2026 = 7 × 289 + 3 مع 0 ≤ 3 < 7. يجب إضافة 7 − 3 = 4 : 2026 + 4 = 2030 = 7 × 290. إذن k = 4.
التمرين 2 : الترتيب في ℝ (5 نقط)
1) قارن 3√2 و 2√5. (نقطة)
2) حل في ℝ : |2x − 1| ≤ 5. (نقطتان)
3) نعطي 2 ≤ x ≤ 3. أطر 5 − 2x و 1/x. (نقطتان)
عرض التصحيح
• 1) العددان موجبان : (3√2)² = 18 و (2√5)² = 20. وبما أن 18 < 20 فإن 3√2 < 2√5.
• 2) |2x − 1| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇔ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3. إذن S = [−2, 3].
• 3) 4 ≤ 2x ≤ 6 إذن −6 ≤ −2x ≤ −4 ثم −1 ≤ 5 − 2x ≤ 1. وبما أن x موجب فإن 1/3 ≤ 1/x ≤ 1/2.
التمرين 3 : الحساب المتجهي (5 نقط)
ليكن ABC مثلثاً و I منتصف [BC] و G النقطة التي تحقق AG = (2/3)AI.
1) بيّن أن GB + GC = 2GI. (1,5 نقطة)
2) بيّن أن GI = (1/3)AI و GA = −(2/3)AI. (1,5 نقطة)
3) استنتج أن GA + GB + GC = 0. (نقطتان)
عرض التصحيح
• 1) حسب علاقة شال : GB = GI + IB و GC = GI + IC. وبما أن I منتصف [BC] فإن IB + IC = 0. إذن GB + GC = 2GI.
• 2) GI = GA + AI = −AG + AI = −(2/3)AI + AI = (1/3)AI. و GA = −AG = −(2/3)AI.
• 3) GA + GB + GC = GA + 2GI = −(2/3)AI + (2/3)AI = 0. إذن G مركز ثقل المثلث.
التمرين 4 : الإسقاط في المستوى (5 نقط)
ليكن ABC مثلثاً و E نقطة من (AB) بحيث AE = (2/5)AB. الموازي لـ (BC) المار من E يقطع (AC) في F.
1) نسقط على (AC) بتوازٍ مع (BC). حدد مساقط A و B و E. (1,5 نقطة)
2) استنتج أن AF = (2/5)AC. (نقطتان)
3) إذا كان AC = 10 سم فاحسب AF. (1,5 نقطة)
عرض التصحيح
• 1) A تنتمي إلى (AC) : مسقطها A. الموازي لـ (BC) المار من B يقطع (AC) في C : مسقط B هو C. الموازي لـ (BC) المار من E هو (EF) : مسقط E هو F.
• 2) الإسقاط يحفظ معامل الاستقامية : من AE = (2/5)AB نستنتج AF = (2/5)AC.
• 3) AF = (2/5) × 10 = 4 سم.
كيف تتعامل مع الفرض ؟
- ✅ اقرأ الفرض كاملاً وابدأ بالتمرين الأسهل بالنسبة إليك.
- ✅ اكتب كل جواب : ذكر الخاصية وإجراء حساب نظيف يستحقان نقطاً.
- ✅ احتفظ بعشر دقائق للمراجعة (الإشارات واتجاه المتفاوتات والوحدات).
فروض مصححة أخرى حسب الدرس
يتضمن كل درس فرضه المحروس المصحح الخاص به :
- فرض مصحح : الحسابيات في ℕ
- فرض مصحح : الحساب المتجهي في المستوى
- فرض مصحح : الإسقاط في المستوى
- فرض مصحح : الترتيب في ℝ
- فرض مصحح : المستقيم في المستوى
أسئلة شائعة حول هذا الفرض
كم من الوقت يلزم لهذا الفرض ؟
خصص ساعتين : حوالي 30 دقيقة لكل تمرين ثم 10 دقائق للمراجعة إن كنت سريعاً.
كيف أنقّط نفسي ؟
سلم التنقيط مبين بجانب كل سؤال والمجموع 20 نقطة. قارن ورقتك مع التصحيح المفصل سؤالاً سؤالاً.
ما هي الدروس التي يغطيها هذا الفرض ؟
يغطي الحسابيات في ℕ (الزوجية والقاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر والقسمة الإقليدية) والترتيب في ℝ (المقارنة والقيمة المطلقة والتأطير) والحساب المتجهي (علاقة شال ومركز الثقل) والإسقاط في المستوى.
أين أجد فروضاً مصححة أخرى ؟
لكل درس منشور فرضه المحروس المصحح، ويمكن الوصول إليه من البرنامج الكامل لرياضيات الجذع المشترك.