ملخص شامل لدرس المستقيم في المستوى
تحميل ملف PDFدرس المستقيم في المستوى يقدم إحداثيتي المتجهة ويربط بين الهندسة المتجهية والحساب في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي.
1. إحداثيتا نقطة ومتجهة
- • في معلم، نكتب نقطة M(x, y) ومتجهة u(x, y).
- • AB(xB − xA , yB − yA) : نطرح إحداثيتي الأصل من إحداثيتي الطرف.
- • u(x, y) = v(x′, y′) ⇔ x = x′ و y = y′. كما أن u + v(x + x′ , y + y′) و ku(kx , ky).
- • منتصف [AB] : I((xA + xB)/2 , (yA + yB)/2).
2. الاستقامية والمحاذاة
- • المحدد : det(u, v) = xy′ − x′y.
- • u و v مستقيميتان ⇔ det(u, v) = 0.
- • A, B, C نقط مستقيمية ⇔ AB و AC مستقيميتان ⇔ det(AB, AC) = 0.
- • (AB) // (CD) ⇔ AB و CD مستقيميتان.
3. المتجهة الموجهة والمعادلة الديكارتية
- • المتجهة الموجهة لمستقيم D هي متجهة غير منعدمة لها اتجاه D.
- • D يمر من A(xA, yA) ومتجهته الموجهة u(α, β) : M(x, y) ∈ D ⇔ det(AM, u) = 0 ⇔ β(x − xA) − α(y − yA) = 0.
- • المعادلة الديكارتية : ax + by + c = 0 مع (a, b) ≠ (0, 0). متجهة موجهة هي u(−b, a).
4. المعادلة المختصرة والمعامل الموجه
- • إذا لم يكن D رأسياً : y = mx + p. العدد m هو المعامل الموجه و u(1, m) متجهة موجهة.
- • بمعرفة نقطتين : m = (yB − yA)/(xB − xA) (إذا كان xA ≠ xB) ثم p = yA − m·xA.
- • المستقيم الرأسي : x = k ؛ الأفقي : y = p. يقطع D محور الأراتيب في (0, p).
5. الأوضاع النسبية لمستقيمين
- • D : ax + by + c = 0 و D′ : a′x + b′y + c′ = 0.
- • ab′ − a′b ≠ 0 ⇔ D و D′ متقاطعان ؛ ab′ − a′b = 0 ⇔ D و D′ متوازيان (قطعاً أو منطبقان).
- • بالمعادلات المختصرة : نفس m ⇒ متوازيان ؛ m ≠ m′ ⇒ متقاطعان.
- • نقطة التقاطع : نحل النظمة المكونة من المعادلتين.
6. تكملة (معلم متعامد ممنظم)
- • المسافة : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). مثلاً A(1, 2) و B(4, 6) تعطي AB = √(9 + 16) = 5.
- • D و D′ متعامدان ⇔ aa′ + bb′ = 0 (أو mm′ = −1).
- • مركز ثقل ABC : G((xA + xB + xC)/3 , (yA + yB + yC)/3).
جدول ملخص : المستقيم في المستوى (الإحداثيات، الاستقامية، المعادلات)
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| إحداثيتا AB | AB(xB − xA , yB − yA) | A(1, 2) و B(4, 6) تعطيان AB(3, 4) |
| منتصف [AB] | I((xA + xB)/2 , (yA + yB)/2) | A(−2, 3) و B(4, 7) تعطيان I(1, 5) |
| استقامية متجهتين | det(u, v) = xy′ − x′y = 0 | u(2, 3) و v(4, 6) : 12 − 12 = 0 |
| ثلاث نقط مستقيمية | det(AB, AC) = 0 | نفس طريقة الاستقامية |
| متجهة موجهة للمستقيم ax + by + c = 0 | u(−b, a) | 2x + 3y − 6 = 0 : u(−3, 2) |
| المعادلة المختصرة بمعرفة نقطتين | m = (yB − yA)/(xB − xA) ثم p = yA − m·xA | A(1, 2) و B(3, 6) : y = 2x |
| الوضع النسبي لمستقيمين | ab′ − a′b = 0 : متوازيان ؛ ≠ 0 : متقاطعان | إذا تقاطعا : نحل النظمة |
📝 سلسلة تمارين محلولة : المستقيم في المستوى (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول المستقيم في المستوى. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (الإحداثيات) : في معلم، نعطي A(−1, 2) و B(3, 5) و C(0, −1). 1) احسب إحداثيتي AB و AC. 2) حدد منتصف I للقطعة [BC]. 3) حدد D بحيث يكون ABCD متوازي أضلاع.
التمرين 2 (الاستقامية) : 1) هل المتجهتان u(3, −2) و v(−6, 4) مستقيميتان ؟ 2) حدد m لتكون w(m, 6) مستقيمية مع u.
التمرين 3 (المحاذاة) : نعطي A(1, 2) و B(3, 3) و C(7, 5). 1) بيّن أن A و B و C نقط مستقيمية. 2) حدد y لتنتمي M(5, y) إلى المستقيم (AB).
التمرين 4 (المعادلة الديكارتية) : ليكن D المستقيم المار من A(1, −2) والموجه بالمتجهة u(2, 3). 1) حدد معادلة ديكارتية للمستقيم D. 2) هل تنتمي النقطة B(5, 4) إلى D ؟
التمرين 5 (المعادلة المختصرة) : نعطي A(−1, 4) و B(2, −2). 1) حدد المعادلة المختصرة للمستقيم (AB). 2) حدد نقط تقاطع (AB) مع المحورين.
التمرين 6 (الأوضاع النسبية) : ليكن D : 2x − y + 1 = 0 و D′ : x + y − 4 = 0 و D″ : 4x − 2y + 5 = 0. 1) بيّن أن D و D′ متقاطعان وحدد نقطة تقاطعهما. 2) ادرس الوضع النسبي للمستقيمين D و D″.
تكملة الدرس : الإحداثيات والمستقيمات (جذع مشترك)
المسافة والمنظم
في معلم متعامد ممنظم : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). مثال : A(1, 2) و B(4, 6) تعطيان AB = √(9 + 16) = 5.
المستقيمان المتعامدان
في معلم متعامد ممنظم : D و D′ متعامدان ⇔ aa′ + bb′ = 0 (أو mm′ = −1). مثال : x + 2y − 4 = 0 و 2x − y + 2 = 0 : 1 × 2 + 2 × (−1) = 0.
مركز الثقل
G((xA + xB + xC)/3 , (yA + yB + yC)/3). مثال : A(0, 0) و B(6, 0) و C(0, 3) تعطي G(2, 1).
الصلة بالحساب المتجهي
تسمح الإحداثيات بالتحقق بالحساب من خاصيات الدرس السابق : AB = DC في متوازي الأضلاع، أو العلاقة MA + MB = 2MI بالنسبة إلى منتصف I للقطعة [AB].
الفرض المحروس رقم 2 مصحح : المستقيم في المستوى جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : نعطي A(−2, 1) و B(4, 3) و C(1, −2). 1) احسب إحداثيتي AB و AC (نقطة). 2) حدد منتصف I للقطعة [BC] (نقطة). 3) حدد D بحيث يكون ABCD متوازي أضلاع (نقطتان). 4) هل A و B و C نقط مستقيمية ؟ (نقطة)
1) AB(6, 2) و AC(3, −3). 2) I(5/2 , 1/2). 3) AB = DC : (1 − x , −2 − y) = (6, 2) إذن x = −5 و y = −4 و D(−5, −4). 4) det(AB, AC) = 6 × (−3) − 3 × 2 = −24 ≠ 0 : A و B و C ليست نقطاً مستقيمية.
التمرين 2 (5 نقط) : نعطي u(m + 1, 4) و v(3, 2). 1) حدد m لتكون u و v مستقيميتين (نقطتان). 2) من أجل هذه القيمة تحقق أن u = 2v (نقطة). 3) هل النقط A(0, 1) و B(2, 5) و C(5, 11) مستقيمية ؟ (نقطتان)
1) det(u, v) = (m + 1) × 2 − 3 × 4 = 2m − 10 = 0 إذن m = 5. 2) u(6, 4) = 2 × (3, 2) = 2v. 3) AB(2, 4) و AC(5, 10) : det = 2 × 10 − 5 × 4 = 0 إذن النقط مستقيمية.
التمرين 3 (5 نقط) : ليكن D المستقيم المار من A(2, −1) والموجه بالمتجهة u(−1, 3). 1) حدد معادلة ديكارتية للمستقيم D (نقطتان). 2) استنتج معادلته المختصرة (نقطة). 3) هل تنتمي النقطتان B(1, 2) و C(0, 4) إلى D ؟ (نقطتان)
1) det(AM, u) = (x − 2) × 3 − (y + 1) × (−1) = 3x + y − 5 = 0. 2) y = −3x + 5. 3) 3 × 1 + 2 − 5 = 0 : B ∈ D. 3 × 0 + 4 − 5 = −1 ≠ 0 : C ∉ D.
التمرين 4 (5 نقط) : ليكن D : x + 2y − 4 = 0 و D′ : 2x − y + 2 = 0. 1) بيّن أن D و D′ متقاطعان (نقطة). 2) حدد نقطة تقاطعهما (نقطتان). 3) حدد معادلة المستقيم Δ المار من A(1, 1) والموازي لـ D (نقطتان).
1) ab′ − a′b = 1 × (−1) − 2 × 2 = −5 ≠ 0 : متقاطعان. 2) D′ : y = 2x + 2 ؛ في D : x + 4x + 4 − 4 = 0 إذن x = 0 و y = 2 : النقطة (0, 2). 3) للمستقيم Δ نفس المتجهة الموجهة لـ D : x + 2y + c = 0 و 1 + 2 + c = 0 إذن c = −3 : x + 2y − 3 = 0.
طرق أساسية لإنجاح فرض المستقيم في المستوى
إثبات أن ثلاث نقط مستقيمية
نحسب AB و AC ثم det(AB, AC) : إذا كان منعدماً فالنقط مستقيمية.
إيجاد معادلة مستقيم
بمعرفة نقطة ومتجهة موجهة : نكتب det(AM, u) = 0. وبمعرفة نقطتين : نحسب m ثم p.
دراسة مستقيمين
نقارن ab′ − a′b مع 0 (أو المعاملين الموجهين). إذا تقاطعا نحل النظمة لإيجاد نقطة التقاطع.
إنشاء متوازي أضلاع
ABCD متوازي أضلاع ⇔ AB = DC : نساوي الإحداثيات لإيجاد D.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ حساب AB بـ xA − xB عوض xB − xA : نحصل حينئذ على BA.
- ⚠️ الخلط بين إحداثيتي نقطة وإحداثيتي متجهة.
- ⚠️ استعمال xx′ + yy′ عوض المحدد xy′ − x′y لدراسة الاستقامية.
- ⚠️ نسيان أن المستقيم الرأسي x = k ليس له معادلة مختصرة y = mx + p.
- ⚠️ استنتاج « متوازيان » دون التحقق من انطباقهما.
أسئلة شائعة حول المستقيم في المستوى
كيف نحسب إحداثيتي المتجهة AB ؟
نطرح إحداثيتي الأصل من إحداثيتي الطرف : إذا كان A(xA, yA) و B(xB, yB) فإن AB(xB − xA, yB − yA).
كيف نبرهن أن ثلاث نقط مستقيمية ؟
نحسب إحداثيتي AB و AC ثم المحدد xy′ − x′y. إذا كان منعدماً فالمتجهتان مستقيميتان والنقط A و B و C مستقيمية.
كيف نجد معادلة مستقيم يمر من نقطتين ؟
نحسب المعامل الموجه m = (yB − yA)/(xB − xA) ثم p = yA − m·xA. المعادلة المختصرة هي y = mx + p (إذا كان xA ≠ xB).
ما هي المتجهة الموجهة للمستقيم ax + by + c = 0 ؟
المتجهة u(−b, a) متجهة موجهة للمستقيم الذي معادلته ax + by + c = 0.
كيف نعرف أن مستقيمين متوازيان أم متقاطعان ؟
مع D : ax + by + c = 0 و D′ : a′x + b′y + c′ = 0 إذا كان ab′ − a′b = 0 فالمستقيمان متوازيان وإلا فهما متقاطعان. وبالمعادلات المختصرة نقارن المعاملين الموجهين.
كيف نجد نقطة تقاطع مستقيمين ؟
نحل النظمة المكونة من معادلتيهما بالتعويض أو بالتأليف. مثلاً 2x − y + 1 = 0 و x + y − 4 = 0 تعطيان x = 1 و y = 3.