Résumé du Cours : La Droite dans le Plan
Télécharger le PDFLe chapitre La droite dans le plan introduit les coordonnées de vecteurs : il fait le lien entre la géométrie vectorielle et le calcul, en Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF).
1. Coordonnées de points et de vecteurs
- • Dans un repère, un point s’écrit M(x, y) et un vecteur u(x, y).
- • AB(xB − xA , yB − yA) : on soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité.
- • u(x, y) = v(x′, y′) ⇔ x = x′ et y = y′. De plus u + v(x + x′ , y + y′) et ku(kx , ky).
- • Milieu de [AB] : I((xA + xB)/2 , (yA + yB)/2).
2. Colinéarité et alignement
- • Déterminant : det(u, v) = xy′ − x′y.
- • u et v sont colinéaires ⇔ det(u, v) = 0.
- • A, B, C alignés ⇔ AB et AC colinéaires ⇔ det(AB, AC) = 0.
- • (AB) // (CD) ⇔ AB et CD colinéaires.
3. Vecteur directeur et équation cartésienne
- • Un vecteur directeur d’une droite D est un vecteur non nul qui a la direction de D.
- • D passe par A(xA, yA) et a pour vecteur directeur u(α, β) : M(x, y) ∈ D ⇔ det(AM, u) = 0 ⇔ β(x − xA) − α(y − yA) = 0.
- • Équation cartésienne : ax + by + c = 0 avec (a, b) ≠ (0, 0). Un vecteur directeur est u(−b, a).
4. Équation réduite et coefficient directeur
- • Si D n’est pas verticale : y = mx + p. m est le coefficient directeur et u(1, m) un vecteur directeur.
- • Par deux points : m = (yB − yA)/(xB − xA) (si xA ≠ xB), puis p = yA − m·xA.
- • Droite verticale : x = k ; horizontale : y = p. D coupe l’axe des ordonnées en (0, p).
5. Positions relatives de deux droites
- • D : ax + by + c = 0 et D′ : a′x + b′y + c′ = 0.
- • ab′ − a′b ≠ 0 ⇔ D et D′ sont sécantes ; ab′ − a′b = 0 ⇔ D et D′ sont parallèles (strictement ou confondues).
- • Avec les équations réduites : même m ⇒ parallèles ; m ≠ m′ ⇒ sécantes.
- • Point d’intersection : on résout le système formé par les deux équations.
6. Compléments (repère orthonormé)
- • Distance : AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Par exemple A(1, 2) et B(4, 6) donnent AB = √(9 + 16) = 5.
- • D et D′ sont perpendiculaires ⇔ aa′ + bb′ = 0 (ou mm′ = −1).
- • Centre de gravité de ABC : G((xA + xB + xC)/3 , (yA + yB + yC)/3).
Tableau récapitulatif : la droite dans le plan (coordonnées, colinéarité, équations)
| Objectif dans l’exercice | Propriété utilisée | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Coordonnées de AB | AB(xB − xA , yB − yA) | A(1, 2), B(4, 6) donnent AB(3, 4) |
| Milieu de [AB] | I((xA + xB)/2 , (yA + yB)/2) | A(−2, 3), B(4, 7) donnent I(1, 5) |
| Colinéarité de deux vecteurs | det(u, v) = xy′ − x′y = 0 | u(2, 3), v(4, 6) : 12 − 12 = 0 |
| Trois points alignés | det(AB, AC) = 0 | Même méthode que la colinéarité |
| Vecteur directeur de ax + by + c = 0 | u(−b, a) | 2x + 3y − 6 = 0 : u(−3, 2) |
| Équation réduite par deux points | m = (yB − yA)/(xB − xA) puis p = yA − m·xA | A(1, 2), B(3, 6) : y = 2x |
| Position relative de deux droites | ab′ − a′b = 0 : parallèles ; ≠ 0 : sécantes | Si sécantes : résoudre le système |
📝 Série d’Exercices Corrigés : La droite dans le plan (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur la droite dans le plan. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».
Exercice 1 (Coordonnées) : Dans un repère, on donne A(−1, 2), B(3, 5) et C(0, −1). 1) Calculer les coordonnées de AB et AC. 2) Déterminer le milieu I de [BC]. 3) Déterminer D tel que ABCD soit un parallélogramme.
Exercice 2 (Colinéarité) : 1) Les vecteurs u(3, −2) et v(−6, 4) sont-ils colinéaires ? 2) Déterminer m pour que w(m, 6) soit colinéaire à u.
Exercice 3 (Alignement) : On donne A(1, 2), B(3, 3) et C(7, 5). 1) Montrer que A, B, C sont alignés. 2) Déterminer y pour que M(5, y) appartienne à la droite (AB).
Exercice 4 (Équation cartésienne) : Soit D la droite passant par A(1, −2) de vecteur directeur u(2, 3). 1) Déterminer une équation cartésienne de D. 2) Le point B(5, 4) appartient-il à D ?
Exercice 5 (Équation réduite) : On donne A(−1, 4) et B(2, −2). 1) Déterminer l’équation réduite de (AB). 2) Déterminer les points d’intersection de (AB) avec les axes.
Exercice 6 (Positions relatives) : Soient D : 2x − y + 1 = 0, D′ : x + y − 4 = 0 et D″ : 4x − 2y + 5 = 0. 1) Montrer que D et D′ sont sécantes et déterminer leur point d’intersection. 2) Étudier la position relative de D et D″.
Complément de cours : coordonnées et droites (Tronc Commun)
Distance et norme
Dans un repère orthonormé, AB = √((xB − xA)² + (yB − yA)²). Exemple : A(1, 2) et B(4, 6) donnent AB = √(9 + 16) = 5.
Droites perpendiculaires
Dans un repère orthonormé, D et D′ sont perpendiculaires ⇔ aa′ + bb′ = 0 (ou mm′ = −1). Exemple : x + 2y − 4 = 0 et 2x − y + 2 = 0 : 1 × 2 + 2 × (−1) = 0.
Centre de gravité
G((xA + xB + xC)/3 , (yA + yB + yC)/3). Exemple : A(0, 0), B(6, 0), C(0, 3) donnent G(2, 1).
Lien avec le calcul vectoriel
Les coordonnées permettent de vérifier par le calcul les propriétés du chapitre précédent : AB = DC pour un parallélogramme, ou la relation MA + MB = 2MI pour le milieu I de [AB].
Devoir surveillé n°2 corrigé : la droite dans le plan, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : On donne A(−2, 1), B(4, 3) et C(1, −2). 1) Calculer les coordonnées de AB et AC (1 pt). 2) Déterminer le milieu I de [BC] (1 pt). 3) Déterminer D tel que ABCD soit un parallélogramme (2 pts). 4) A, B, C sont-ils alignés ? (1 pt)
1) AB(6, 2) et AC(3, −3). 2) I(5/2 , 1/2). 3) AB = DC : (1 − x , −2 − y) = (6, 2) donc x = −5, y = −4 et D(−5, −4). 4) det(AB, AC) = 6 × (−3) − 3 × 2 = −24 ≠ 0 : A, B, C ne sont pas alignés.
Exercice 2 (5 pts) : On donne u(m + 1, 4) et v(3, 2). 1) Déterminer m pour que u et v soient colinéaires (2 pts). 2) Pour cette valeur de m, vérifier que u = 2v (1 pt). 3) Les points A(0, 1), B(2, 5) et C(5, 11) sont-ils alignés ? (2 pts)
1) det(u, v) = (m + 1) × 2 − 3 × 4 = 2m − 10 = 0 donc m = 5. 2) u(6, 4) = 2 × (3, 2) = 2v. 3) AB(2, 4) et AC(5, 10) : det = 2 × 10 − 5 × 4 = 0, donc alignés.
Exercice 3 (5 pts) : Soit D la droite passant par A(2, −1) de vecteur directeur u(−1, 3). 1) Déterminer une équation cartésienne de D (2 pts). 2) En déduire son équation réduite (1 pt). 3) Les points B(1, 2) et C(0, 4) appartiennent-ils à D ? (2 pts)
1) det(AM, u) = (x − 2) × 3 − (y + 1) × (−1) = 3x + y − 5 = 0. 2) y = −3x + 5. 3) 3 × 1 + 2 − 5 = 0 : B ∈ D. 3 × 0 + 4 − 5 = −1 ≠ 0 : C ∉ D.
Exercice 4 (5 pts) : Soient D : x + 2y − 4 = 0 et D′ : 2x − y + 2 = 0. 1) Montrer que D et D′ sont sécantes (1 pt). 2) Déterminer leur point d’intersection (2 pts). 3) Déterminer une équation de la droite Δ passant par A(1, 1) et parallèle à D (2 pts).
1) ab′ − a′b = 1 × (−1) − 2 × 2 = −5 ≠ 0 : sécantes. 2) D′ : y = 2x + 2 ; dans D : x + 4x + 4 − 4 = 0 donc x = 0 et y = 2 : point (0, 2). 3) Δ a le même vecteur directeur que D : x + 2y + c = 0 et 1 + 2 + c = 0 donc c = −3 : x + 2y − 3 = 0.
Méthodes types pour réussir le contrôle sur la droite dans le plan
Montrer que trois points sont alignés
On calcule AB et AC, puis det(AB, AC) : s’il est nul, les points sont alignés.
Trouver l’équation d’une droite
Avec un point et un vecteur directeur : on écrit det(AM, u) = 0. Avec deux points : on calcule m, puis p.
Étudier deux droites
On compare ab′ − a′b à 0 (ou les coefficients directeurs). Si elles sont sécantes, on résout le système pour obtenir leur point d’intersection.
Construire un parallélogramme
ABCD est un parallélogramme ⇔ AB = DC : on égale les coordonnées pour trouver D.
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Calculer AB avec xA − xB au lieu de xB − xA : on obtient alors BA.
- ⚠️ Confondre les coordonnées d’un point et celles d’un vecteur.
- ⚠️ Utiliser xx′ + yy′ à la place du déterminant xy′ − x′y pour la colinéarité.
- ⚠️ Oublier qu’une droite verticale x = k n’a pas d’équation réduite y = mx + p.
- ⚠️ Conclure « parallèles » sans vérifier si les droites sont confondues.
Questions fréquentes sur la droite dans le plan
Comment calculer les coordonnées d’un vecteur AB ?
On soustrait les coordonnées de l’origine à celles de l’extrémité : si A(xA, yA) et B(xB, yB), alors AB(xB − xA, yB − yA).
Comment démontrer que trois points sont alignés ?
On calcule les coordonnées de AB et AC, puis le déterminant xy′ − x′y. S’il est nul, les vecteurs sont colinéaires et les points A, B, C sont alignés.
Comment trouver l’équation d’une droite passant par deux points ?
On calcule le coefficient directeur m = (yB − yA)/(xB − xA), puis p = yA − m·xA. L’équation réduite est y = mx + p (si xA ≠ xB).
Quel est un vecteur directeur de la droite ax + by + c = 0 ?
Le vecteur u(−b, a) est un vecteur directeur de la droite d’équation ax + by + c = 0.
Comment savoir si deux droites sont parallèles ou sécantes ?
Avec D : ax + by + c = 0 et D′ : a′x + b′y + c′ = 0, si ab′ − a′b = 0 les droites sont parallèles, sinon elles sont sécantes. Avec les équations réduites, on compare les coefficients directeurs.
Comment trouver le point d’intersection de deux droites ?
On résout le système formé par leurs deux équations, par substitution ou combinaison. Par exemple 2x − y + 1 = 0 et x + y − 4 = 0 donnent x = 1 et y = 3.