Énoncé et correction du devoir
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Exercice 1 : Arithmétique dans ℕ (5 pts)
1) Montrer que pour tout n ∈ ℕ, n(n + 1) est pair. (1 pt)
2) Calculer PGCD(168, 252) par l’algorithme d’Euclide, puis PPCM(168, 252). (2 pts)
3) Effectuer la division euclidienne de 2026 par 7. En déduire le plus petit entier naturel k tel que 2026 + k soit un multiple de 7. (2 pts)
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• 1) Si n est pair, n(n + 1) est pair. Si n est impair, n + 1 est pair, donc le produit est pair. Dans les deux cas, n(n + 1) est pair.
• 2) 252 = 1 × 168 + 84 puis 168 = 2 × 84 + 0. Le dernier reste non nul est 84 : PGCD(168, 252) = 84. Alors PPCM(168, 252) = (168 × 252) / 84 = 504.
• 3) 2026 = 7 × 289 + 3 avec 0 ≤ 3 < 7. Il faut ajouter 7 − 3 = 4 : 2026 + 4 = 2030 = 7 × 290. Donc k = 4.
Exercice 2 : Ordre dans ℝ (5 pts)
1) Comparer 3√2 et 2√5. (1 pt)
2) Résoudre dans ℝ : |2x − 1| ≤ 5. (2 pts)
3) On donne 2 ≤ x ≤ 3. Encadrer 5 − 2x et 1/x. (2 pts)
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• 1) Les deux nombres sont positifs : (3√2)² = 18 et (2√5)² = 20. Comme 18 < 20, on a 3√2 < 2√5.
• 2) |2x − 1| ≤ 5 ⇔ −5 ≤ 2x − 1 ≤ 5 ⇔ −4 ≤ 2x ≤ 6 ⇔ −2 ≤ x ≤ 3. Donc S = [−2, 3].
• 3) 4 ≤ 2x ≤ 6 donc −6 ≤ −2x ≤ −4, puis −1 ≤ 5 − 2x ≤ 1. Comme x est positif, 1/3 ≤ 1/x ≤ 1/2.
Exercice 3 : Calcul vectoriel (5 pts)
Soit ABC un triangle, I le milieu de [BC] et G le point tel que AG = (2/3)AI.
1) Montrer que GB + GC = 2GI. (1,5 pt)
2) Montrer que GI = (1/3)AI et GA = −(2/3)AI. (1,5 pt)
3) En déduire que GA + GB + GC = 0. (2 pts)
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• 1) Par Chasles : GB = GI + IB et GC = GI + IC. Comme I est le milieu de [BC], IB + IC = 0. Donc GB + GC = 2GI.
• 2) GI = GA + AI = −AG + AI = −(2/3)AI + AI = (1/3)AI. Et GA = −AG = −(2/3)AI.
• 3) GA + GB + GC = GA + 2GI = −(2/3)AI + (2/3)AI = 0. G est le centre de gravité du triangle.
Exercice 4 : Projection dans le plan (5 pts)
Soit ABC un triangle, E un point de (AB) tel que AE = (2/5)AB. La parallèle à (BC) passant par E coupe (AC) en F.
1) On projette sur (AC) parallèlement à (BC). Déterminer les projetés de A, B et E. (1,5 pt)
2) En déduire que AF = (2/5)AC. (2 pts)
3) Si AC = 10 cm, calculer AF. (1,5 pt)
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• 1) A appartient à (AC) : son projeté est A. La parallèle à (BC) passant par B coupe (AC) en C : le projeté de B est C. La parallèle à (BC) passant par E est (EF) : le projeté de E est F.
• 2) La projection conserve le coefficient de colinéarité : de AE = (2/5)AB on déduit AF = (2/5)AC.
• 3) AF = (2/5) × 10 = 4 cm.
Comment s’y prendre ?
- ✅ Lis tout le devoir et commence par l’exercice qui te semble le plus facile.
- ✅ Rédige chaque réponse : une propriété citée et un calcul propre valent des points.
- ✅ Garde 10 minutes pour te relire (signes, sens des inégalités, unités).
Autres devoirs corrigés par chapitre
Chaque chapitre contient son propre devoir surveillé corrigé :
- Devoir corrigé : Arithmétique dans ℕ
- Devoir corrigé : Calcul vectoriel dans le plan
- Devoir corrigé : Projection dans le plan
- Devoir corrigé : Ordre dans ℝ
- Devoir corrigé : Droite dans le plan
Questions fréquentes sur ce devoir
Combien de temps pour ce devoir de maths Tronc Commun ?
Prévois 2 heures : environ 30 minutes par exercice, puis 10 minutes de relecture si tu es rapide.
Comment me noter ?
Le barème est indiqué à côté de chaque question et le total fait 20 points. Compare ta copie avec la correction détaillée, question par question.
Quels chapitres ce devoir couvre-t-il ?
Il couvre l’arithmétique dans ℕ (parité, PGCD, PPCM, division euclidienne), l’ordre dans ℝ (comparaison, valeur absolue, encadrement), le calcul vectoriel (relation de Chasles, centre de gravité) et la projection dans le plan.
Où trouver d’autres devoirs corrigés ?
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