ملخص شامل لدرس مجموعات الأعداد
تحميل ملف PDFدرس مجموعات الأعداد يفتتح البرنامج : يحدد المفردات (ℕ و ℤ و 𝔻 و ℚ و ℝ) وقواعد الحساب المستعملة في كل دروس الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي.
1. المجموعات ℕ و ℤ و 𝔻 و ℚ و ℝ
- • ℕ = {0, 1, 2, …} (الأعداد الصحيحة الطبيعية) و ℤ (الأعداد الصحيحة النسبية).
- • 𝔻 : الأعداد العشرية على شكل a/10ⁿ مع a ∈ ℤ و n ∈ ℕ. مثال : 0,25 = 25/100.
- • ℚ : الأعداد الجذرية على شكل p/q مع p ∈ ℤ و q ∈ ℕ*. ℝ : الأعداد الحقيقية.
- • الاحتواءات : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
2. الأعداد العشرية والجذرية
- • كسر غير قابل للاختزال p/q عدد عشري ⇔ لا يقبل المقام q إلا العاملين الأوليين 2 و 5. إذن 7/20 عشري بينما 1/3 و 5/6 ليسا عشريين.
- • يكون العدد جذرياً ⇔ كتابته العشرية منتهية أو دورية.
- • كسر عدد دوري : x = 0,2727… تعطي 100x − x = 27 إذن x = 27/99 = 3/11.
3. الأعداد الصماء
- • العدد الأصم عدد حقيقي غير جذري : √2 و √3 و π…
- • √n (مع n ∈ ℕ) جذري ⇔ n مربع كامل. إذن √16 = 4 جذري بينما √7 أصم.
- • برهان أن √2 أصم : بالخلف، نفترض √2 = p/q غير قابل للاختزال فنجد p² زوجياً إذن p زوجي ثم q زوجي : تناقض.
4. القوى
- • aⁿ = a × a × … × a (n عاملاً) و a⁰ = 1 و a⁻ⁿ = 1/aⁿ من أجل a ≠ 0.
- • aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ؛ aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ؛ (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ؛ (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- • قوى العدد 10 : 0,0005 = 5 × 10⁻⁴ و 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ (الكتابة العلمية).
5. الجذور المربعة
- • من أجل a ≥ 0 : (√a)² = a. ولكل عدد حقيقي x : √(x²) = |x|.
- • من أجل a ≥ 0 و b ≥ 0 : √(ab) = √a × √b ؛ ومن أجل b > 0 : √(a/b) = √a / √b.
- • جعل المقام جذرياً : 1/√a = √a / a و 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b).
6. المتطابقات الهامة
- • (a + b)² = a² + 2ab + b² و (a − b)² = a² − 2ab + b².
- • (a + b)(a − b) = a² − b².
- • تستعمل للنشر والتعميل والحساب السريع (101² − 99² = 2 × 200 = 400) وجعل المقام جذرياً (العدد المرافق).
جدول ملخص : مجموعات الأعداد والقوى والجذور المربعة
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| هل العدد عشري ؟ | كسر غير قابل للاختزال مقامه لا يقبل إلا 2 و 5 | 7/20 = 0,35 عشري ؛ 5/6 ليس عشرياً |
| كسر عدد دوري | نضرب في 10ⁿ ونطرح | 0,4545… = 45/99 = 5/11 |
| جذري أم أصم ؟ | √n جذري ⇔ n مربع كامل | √16 = 4 ؛ √7 أصم |
| جداء قوى | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| قوة سالبة | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | (2/3)⁻³ = (3/2)³ = 27/8 |
| تبسيط جذر | √(ab) = √a × √b | √50 = 5√2 |
| جعل المقام جذرياً | 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b) | 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2 |
📝 سلسلة تمارين محلولة : مجموعات الأعداد (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول مجموعات الأعداد. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (الانتماء) : بالنسبة إلى كل عدد، حدد أصغر مجموعة من ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ تحتويه : −5 ؛ 0,75 ؛ 4/3 ؛ √7 ؛ √49.
التمرين 2 (الكسور والأعداد العشرية) : 1) بيّن أن 7/20 عدد عشري. 2) هل 5/6 عشري ؟ 3) اكتب 0,4545… على شكل كسر غير قابل للاختزال.
التمرين 3 (لا جذرية √2) : بيّن أن √2 عدد أصم.
التمرين 4 (القوى) : احسب : 1) A = (2³ × 3²)/(2⁵ × 3) ؛ 2) B = 5⁻² × 5⁴ ؛ 3) C = (2/3)⁻³.
التمرين 5 (الجذور المربعة) : 1) بسّط √50 + √18 − √8. 2) اجعل مقام 3/√5 جذرياً. 3) اجعل مقام 1/(√3 − 1) جذرياً.
التمرين 6 (المتطابقات الهامة) : 1) انشر (2x − 3)². 2) عمّل 9x² − 16. 3) احسب 101² − 99² دون آلة حاسبة.
تكملة الدرس : الكسور والكتابة العلمية والقيم المقربة (جذع مشترك)
كسر غير قابل للاختزال
نجعل الكسر غير قابل للاختزال بقسمة بسطه ومقامه على القاسم المشترك الأكبر. مثال : 84/126 : PGCD(84, 126) = 42 إذن 84/126 = 2/3. يدرس هذا القاسم في درس « الحسابيات في ℕ ».
الكتابة العلمية
يكتب عدد موجب على شكل a × 10ⁿ مع 1 ≤ a < 10 و n ∈ ℤ. أمثلة : 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ و 0,0005 = 5 × 10⁻⁴.
قيم مقربة للعدد √2
1,41 < √2 < 1,42 : نؤطر عدداً أصم بأعداد عشرية. يدرس التأطير والقيم المقربة في درس « الترتيب في ℝ ».
لكل عدد حقيقي x
√(x²) = |x| : مثلاً √((−3)²) = √9 = 3 = |−3| وليس −3.
الفرض المحروس (بداية السنة) مصحح : مجموعات الأعداد جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : 1) حدد أصغر مجموعة من ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ تحتوي كل عدد من الأعداد : −3 ؛ 0,6 ؛ 2/7 ؛ √11 ؛ √36 (نقطتان). 2) اكتب 1/8 على شكل عشري (نقطة). 3) اكتب 0,666… على شكل كسر (نقطتان).
1) −3 ∈ ℤ ؛ 0,6 = 3/5 ∈ 𝔻 ؛ 2/7 ∈ ℚ (غير عشري) ؛ √11 ∈ ℝ (أصم) ؛ √36 = 6 ∈ ℕ. 2) 1/8 = 0,125. 3) x = 0,666… تعطي 10x − x = 6 إذن x = 6/9 = 2/3.
التمرين 2 (5 نقط) : ليكن a = √2 + 1. 1) احسب a² (1,5 نقطة). 2) استنتج أن a² − 2a − 1 = 0 (1,5 نقطة). 3) بيّن أن 1/a = √2 − 1 (نقطتان).
1) a² = (√2)² + 2√2 + 1 = 3 + 2√2. 2) a² − 2a − 1 = 3 + 2√2 − 2√2 − 2 − 1 = 0. 3) 1/a = 1/(√2 + 1) = (√2 − 1)/((√2 + 1)(√2 − 1)) = (√2 − 1)/1 = √2 − 1.
التمرين 3 (5 نقط) : احسب وأعط النتيجة على شكل كسر غير قابل للاختزال : 1) (3⁴ × 2⁻³)/(3² × 2) (نقطتان) ؛ 2) (1/2)⁻² + 2⁻² (1,5 نقطة). 3) اكتب 0,0005 على شكل a × 10ⁿ (1,5 نقطة).
1) 3⁴⁻² × 2⁻³⁻¹ = 3² × 2⁻⁴ = 9/16. 2) (1/2)⁻² = 4 و 2⁻² = 1/4 إذن المجموع 17/4. 3) 0,0005 = 5 × 10⁻⁴.
التمرين 4 (5 نقط) : 1) انشر واختزل (x + 3)² − (x − 3)² (نقطتان). 2) اجعل مقام 2/(√7 − √3) جذرياً (نقطتان). 3) احسب (√7 + √3)(√7 − √3) (نقطة).
1) (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9) = 12x. 2) 2/(√7 − √3) = 2(√7 + √3)/((√7 − √3)(√7 + √3)) = 2(√7 + √3)/4 = (√7 + √3)/2. 3) (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4.
طرق أساسية لإنجاح فرض مجموعات الأعداد
تصنيف عدد
نبحث أولاً هل هو صحيح ثم عشري (مقام لا يقبل إلا 2 و 5) ثم جذري (كسر أو دوري) وإلا فهو أصم.
كتابة عدد دوري على شكل كسر
نضع x ونضرب في 10ⁿ (n طول الدور) ثم نطرح : 99x = 45 من أجل 0,4545….
تبسيط جذر
نبحث عن أكبر مربع كامل يقسم العدد : √50 = √(25 × 2) = 5√2.
جعل المقام جذرياً
من أجل 1/(√a − √b) نضرب البسط والمقام في المرافق √a + √b فيصبح المقام a − b.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ كتابة √(x²) = x : في الحقيقة √(x²) = |x|.
- ⚠️ كتابة √(a + b) = √a + √b : هذا خطأ (مثلاً √(9 + 16) = 5 ≠ 3 + 4).
- ⚠️ اعتبار 1/3 عدداً عشرياً : 3 ليس 2 ولا 5 إذن 1/3 = 0,333… ليس عشرياً.
- ⚠️ نسيان أن (a + b)² ≠ a² + b² : ينقص الجداء المضاعف 2ab.
- ⚠️ الخلط بين a⁻ⁿ و −aⁿ : 2⁻³ = 1/8 وليس −8.
أسئلة شائعة حول مجموعات الأعداد
ما الفرق بين ℚ و ℝ ؟
ℚ تضم الأعداد على شكل p/q (كسور وأعداد عشرية ودورية). و ℝ تضم أيضاً الأعداد الصماء مثل √2 و π. لدينا ℚ ⊂ ℝ.
كيف نعرف أن كسراً عدد عشري ؟
نجعله غير قابل للاختزال. يكون عشرياً إذا كان مقامه لا يقبل إلا العاملين الأوليين 2 و 5. مثلاً 7/20 عشري (20 = 2² × 5) لكن 5/6 ليس عشرياً (6 = 2 × 3).
كيف نكتب 0,2727… على شكل كسر ؟
نضع x = 0,2727… إذن 100x = 27,2727… و 99x = 27. وبالتالي x = 27/99 = 3/11.
لماذا √2 عدد أصم ؟
إذا كان √2 = p/q غير قابل للاختزال فإن p² = 2q² إذن p زوجي ثم q زوجي أيضاً : تناقض مع الكسر غير القابل للاختزال.
كم يساوي √(x²) ؟
√(x²) = |x| لكل عدد حقيقي x. مثلاً √((−3)²) = 3.
كيف نجعل مقام كسر جذرياً ؟
نضرب البسط والمقام في المرافق. مثلاً 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1)/2.