Résumé du Cours : Ensembles de Nombres
Télécharger le PDFLe chapitre Ensembles de nombres ouvre le programme : il fixe le vocabulaire (ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ) et les règles de calcul utilisées dans tous les autres chapitres du Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF).
1. Les ensembles ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ
- • ℕ = {0, 1, 2, …} (entiers naturels) et ℤ (entiers relatifs).
- • 𝔻 : nombres décimaux, de la forme a/10ⁿ avec a ∈ ℤ et n ∈ ℕ. Exemple : 0,25 = 25/100.
- • ℚ : nombres rationnels, de la forme p/q avec p ∈ ℤ et q ∈ ℕ*. ℝ : nombres réels.
- • Inclusions : ℕ ⊂ ℤ ⊂ 𝔻 ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
2. Décimaux et rationnels
- • Une fraction irréductible p/q est un nombre décimal ⇔ le dénominateur q n’a que les facteurs premiers 2 et 5. Ainsi 7/20 est décimal, mais 1/3 et 5/6 ne le sont pas.
- • Un nombre est rationnel ⇔ son écriture décimale est finie ou périodique.
- • Fraction d’un nombre périodique : x = 0,2727… donne 100x − x = 27, donc x = 27/99 = 3/11.
3. Nombres irrationnels
- • Un nombre irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel : √2, √3, π…
- • √n (avec n ∈ ℕ) est rationnel ⇔ n est un carré parfait. Ainsi √16 = 4 est rationnel, mais √7 est irrationnel.
- • Preuve de l’irrationalité de √2 : par l’absurde, en supposant √2 = p/q irréductible, on obtient p² pair, donc p pair, puis q pair : contradiction.
4. Puissances
- • aⁿ = a × a × … × a (n facteurs), a⁰ = 1 et a⁻ⁿ = 1/aⁿ pour a ≠ 0.
- • aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ ; aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ ; (ab)ⁿ = aⁿbⁿ.
- • Puissances de 10 : 0,0005 = 5 × 10⁻⁴ et 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ (écriture scientifique).
5. Racines carrées
- • Pour a ≥ 0 : (√a)² = a. Pour tout réel x : √(x²) = |x|.
- • Pour a ≥ 0 et b ≥ 0 : √(ab) = √a × √b ; pour b > 0 : √(a/b) = √a / √b.
- • Rationaliser un dénominateur : 1/√a = √a / a et 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b).
6. Identités remarquables
- • (a + b)² = a² + 2ab + b² et (a − b)² = a² − 2ab + b².
- • (a + b)(a − b) = a² − b².
- • Elles servent à développer, factoriser, calculer vite (101² − 99² = 2 × 200 = 400) et rationaliser (nombre conjugué).
Tableau récapitulatif : ensembles de nombres, puissances et racines carrées
| Objectif dans l’exercice | Propriété utilisée | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Nombre décimal ? | Fraction irréductible dont le dénominateur n’a que 2 et 5 | 7/20 = 0,35 est décimal ; 5/6 ne l’est pas |
| Fraction d’un périodique | On multiplie par 10ⁿ et on soustrait | 0,4545… = 45/99 = 5/11 |
| Rationnel ou irrationnel ? | √n rationnel ⇔ n carré parfait | √16 = 4 ; √7 irrationnel |
| Produit de puissances | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2⁴ = 2⁷ |
| Puissance négative | a⁻ⁿ = 1/aⁿ | (2/3)⁻³ = (3/2)³ = 27/8 |
| Simplifier une racine | √(ab) = √a × √b | √50 = 5√2 |
| Rationaliser | 1/(√a − √b) = (√a + √b)/(a − b) | 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/2 |
📝 Série d’Exercices Corrigés : Ensembles de nombres (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur les ensembles de nombres. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».
Exercice 1 (Appartenance) : Pour chaque nombre, donner le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ qui le contient : −5 ; 0,75 ; 4/3 ; √7 ; √49.
Exercice 2 (Fractions et décimaux) : 1) Montrer que 7/20 est un nombre décimal. 2) 5/6 est-il décimal ? 3) Écrire 0,4545… sous forme de fraction irréductible.
Exercice 3 (Irrationalité de √2) : Montrer que √2 est irrationnel.
Exercice 4 (Puissances) : Calculer : 1) A = (2³ × 3²)/(2⁵ × 3) ; 2) B = 5⁻² × 5⁴ ; 3) C = (2/3)⁻³.
Exercice 5 (Racines carrées) : 1) Simplifier √50 + √18 − √8. 2) Rationaliser 3/√5. 3) Rationaliser 1/(√3 − 1).
Exercice 6 (Identités remarquables) : 1) Développer (2x − 3)². 2) Factoriser 9x² − 16. 3) Calculer 101² − 99² sans calculatrice.
Complément de cours : fractions, écriture scientifique et approximations (Tronc Commun)
Fraction irréductible
On rend une fraction irréductible en divisant numérateur et dénominateur par leur PGCD. Exemple : 84/126 : PGCD(84, 126) = 42 donc 84/126 = 2/3. Le PGCD est étudié au chapitre « Arithmétique dans ℕ ».
Écriture scientifique
Un nombre positif s’écrit a × 10ⁿ avec 1 ≤ a < 10 et n ∈ ℤ. Exemples : 4 500 000 = 4,5 × 10⁶ et 0,0005 = 5 × 10⁻⁴.
Valeurs approchées de √2
1,41 < √2 < 1,42 : on encadre un irrationnel par des décimaux. L’encadrement et les valeurs approchées sont étudiés au chapitre « Ordre dans ℝ ».
Pour tout réel x
√(x²) = |x| : par exemple √((−3)²) = √9 = 3 = |−3|, et non −3.
Devoir surveillé n°1 (début de l’année) corrigé : ensembles de nombres, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : 1) Donner le plus petit ensemble parmi ℕ, ℤ, 𝔻, ℚ, ℝ contenant chacun des nombres : −3 ; 0,6 ; 2/7 ; √11 ; √36 (2 pts). 2) Écrire 1/8 sous forme décimale (1 pt). 3) Écrire 0,666… sous forme de fraction (2 pts).
1) −3 ∈ ℤ ; 0,6 = 3/5 ∈ 𝔻 ; 2/7 ∈ ℚ (non décimal) ; √11 ∈ ℝ (irrationnel) ; √36 = 6 ∈ ℕ. 2) 1/8 = 0,125. 3) x = 0,666… donne 10x − x = 6, donc x = 6/9 = 2/3.
Exercice 2 (5 pts) : Soit a = √2 + 1. 1) Calculer a² (1,5 pt). 2) En déduire que a² − 2a − 1 = 0 (1,5 pt). 3) Montrer que 1/a = √2 − 1 (2 pts).
1) a² = (√2)² + 2√2 + 1 = 3 + 2√2. 2) a² − 2a − 1 = 3 + 2√2 − 2√2 − 2 − 1 = 0. 3) 1/a = 1/(√2 + 1) = (√2 − 1)/((√2 + 1)(√2 − 1)) = (√2 − 1)/1 = √2 − 1.
Exercice 3 (5 pts) : Calculer et donner le résultat sous forme de fraction irréductible : 1) (3⁴ × 2⁻³)/(3² × 2) (2 pts) ; 2) (1/2)⁻² + 2⁻² (1,5 pt). 3) Écrire 0,0005 sous la forme a × 10ⁿ (1,5 pt).
1) 3⁴⁻² × 2⁻³⁻¹ = 3² × 2⁻⁴ = 9/16. 2) (1/2)⁻² = 4 et 2⁻² = 1/4, donc la somme vaut 17/4. 3) 0,0005 = 5 × 10⁻⁴.
Exercice 4 (5 pts) : 1) Développer et réduire (x + 3)² − (x − 3)² (2 pts). 2) Rationaliser 2/(√7 − √3) (2 pts). 3) Calculer (√7 + √3)(√7 − √3) (1 pt).
1) (x² + 6x + 9) − (x² − 6x + 9) = 12x. 2) 2/(√7 − √3) = 2(√7 + √3)/((√7 − √3)(√7 + √3)) = 2(√7 + √3)/4 = (√7 + √3)/2. 3) (√7)² − (√3)² = 7 − 3 = 4.
Méthodes types pour réussir le contrôle sur les ensembles de nombres
Classer un nombre
On cherche d’abord s’il est entier, puis décimal (dénominateur avec seulement 2 et 5), puis rationnel (fraction ou périodique), sinon irrationnel.
Écrire un périodique en fraction
On pose x, on multiplie par 10ⁿ (n = longueur de la période) puis on soustrait : 99x = 45 pour 0,4545….
Simplifier une racine
On cherche le plus grand carré parfait qui divise le nombre : √50 = √(25 × 2) = 5√2.
Rationaliser
Pour 1/(√a − √b), on multiplie en haut et en bas par le conjugué √a + √b : le dénominateur devient a − b.
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Écrire √(x²) = x : en réalité √(x²) = |x|.
- ⚠️ Écrire √(a + b) = √a + √b : c’est faux (par exemple √(9 + 16) = 5 ≠ 3 + 4).
- ⚠️ Croire que 1/3 est décimal : 3 n’est ni 2 ni 5, donc 1/3 = 0,333… n’est pas décimal.
- ⚠️ Oublier que (a + b)² ≠ a² + b² : il manque le double produit 2ab.
- ⚠️ Confondre a⁻ⁿ avec −aⁿ : 2⁻³ = 1/8 et non −8.
Questions fréquentes sur les ensembles de nombres
Quelle est la différence entre ℚ et ℝ ?
ℚ contient les nombres de la forme p/q (fractions, décimaux, périodiques). ℝ contient aussi les nombres irrationnels comme √2 et π. On a ℚ ⊂ ℝ.
Comment savoir si une fraction est un nombre décimal ?
On la rend irréductible. Elle est décimale si son dénominateur n’a que les facteurs premiers 2 et 5. Par exemple 7/20 est décimale (20 = 2² × 5) mais 5/6 ne l’est pas (6 = 2 × 3).
Comment écrire 0,2727… sous forme de fraction ?
On pose x = 0,2727…, donc 100x = 27,2727… et 99x = 27. Ainsi x = 27/99 = 3/11.
Pourquoi √2 est-il irrationnel ?
Si √2 = p/q irréductible, alors p² = 2q², donc p est pair, puis q est pair aussi : contradiction avec la fraction irréductible.
Combien vaut √(x²) ?
√(x²) = |x| pour tout réel x. Par exemple √((−3)²) = 3.
Comment rationaliser un dénominateur ?
On multiplie le numérateur et le dénominateur par le conjugué. Par exemple 1/(√3 − 1) = (√3 + 1)/((√3 − 1)(√3 + 1)) = (√3 + 1)/2.