ملخص شامل لدرس المعادلات والمتراجحات والأنظمة
تحميل ملف PDFدرس المعادلات والمتراجحات والأنظمة يجمع أدوات الحل في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي : يعتمد على التعميل (الحدوديات) ويستمر في دراسة الدوال.
1. معادلات الدرجة الأولى
- • ax + b = 0 مع a ≠ 0 لها حل وحيد x = −b/a.
- • نحل بعزل x : 3(x − 2) = 5x + 4 تعطي 3x − 6 = 5x + 4 أي −2x = 10 و x = −5.
- • مع الكسور نضرب في المضاعف المشترك الأصغر للمقامات.
2. معادلات الدرجة الثانية
- • ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). المميز : Δ = b² − 4ac.
- • Δ > 0 : حلان x₁ = (−b − √Δ)/(2a) و x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
- • Δ = 0 : حل مضاعف x = −b/(2a). Δ < 0 : لا حل حقيقي.
- • مثال : 2x² − 5x + 2 = 0 : Δ = 25 − 16 = 9 و x = (5 ± 3)/4 أي 2 أو 1/2.
3. المجموع والجداء والتعميل
- • إذا كان x₁ و x₂ حلين : x₁ + x₂ = −b/a و x₁ × x₂ = c/a.
- • عددان مجموعهما S وجداؤهما P هما حلا x² − Sx + P = 0. مثال : S = 7 و P = 12 تعطيان 3 و 4.
- • إذا كان Δ ≥ 0 : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
4. متراجحات الدرجة الأولى
- • نحل كالمعادلة لكن يتغير الاتجاه (ينعكس) عند الضرب أو القسمة على عدد سالب : −3x ≥ 9 ⇔ x ≤ −3.
- • إشارة ax + b (a ≠ 0) : من إشارة a من أجل x > −b/a ومن إشارة −a من أجل x < −b/a.
- • الجداء أو الخارج : ندرس إشارة كل عامل في جدول إشارات (مع استثناء القيم الممنوعة).
5. إشارة ثلاثية الحدود
- • Δ > 0 : ax² + bx + c من إشارة a خارج الجذرين ومن إشارة −a بينهما.
- • Δ = 0 : من إشارة a (منعدمة في −b/(2a)). Δ < 0 : دائماً من إشارة a.
- • مثال : x² − 4x − 5 ≤ 0 : الجذران −1 و 5 إذن S = [−1, 5].
6. أنظمة معادلتين
- • ax + by = c و a′x + b′y = c′. التعويض : نعبر عن مجهول ثم نعوض. التأليف : نجمع مضاعفات المعادلتين.
- • D = ab′ − a′b ≠ 0 : حل وحيد x = (cb′ − c′b)/D و y = (ac′ − a′c)/D.
- • D = 0 : لا حل أو عدد لانهائي من الحلول (مستقيمان متوازيان أو منطبقان، انظر « المستقيم في المستوى »).
جدول ملخص : المعادلات والمتراجحات والأنظمة
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| حل ax + b = 0 | x = −b/a | 3x − 6 = 0 تعطي x = 2 |
| معادلة من الدرجة الثانية | Δ = b² − 4ac ثم x = (−b ± √Δ)/(2a) | x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 1 والحلان 2 و 3 |
| لا حل حقيقي | Δ < 0 | x² + 2x + 5 = 0 : Δ = −16 |
| المجموع والجداء | S = −b/a ؛ P = c/a | S = 8 و P = 15 : 3 و 5 |
| متراجحة من الدرجة الأولى | ينعكس الاتجاه عند القسمة على عدد سالب | −3x ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 |
| إشارة ثلاثية الحدود | إشارة a خارج الجذرين | x² − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1, 1] |
| نظمة معادلتين | التعويض أو التأليف أو D = ab′ − a′b | D ≠ 0 : حل وحيد ؛ D = 0 : لا حل أو عدد لانهائي |
📝 سلسلة تمارين محلولة : المعادلات والمتراجحات والأنظمة (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول المعادلات والمتراجحات والأنظمة. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (الدرجة الأولى) : حل في ℝ : 1) 3(x − 2) = 5x + 4 ؛ 2) (x − 1)/2 + (x + 3)/3 = 4.
التمرين 2 (الدرجة الثانية) : حل في ℝ : 1) 2x² − 5x + 2 = 0 ؛ 2) x² − 6x + 9 = 0 ؛ 3) x² + x + 1 = 0.
التمرين 3 (المجموع والجداء والتعميل) : 1) أوجد عددين مجموعهما 7 وجداؤهما 12. 2) عمّل 2x² − 5x + 2.
التمرين 4 (المتراجحات) : حل في ℝ : 1) 2x − 3 ≥ 5x + 6 ؛ 2) (x − 1)(2x + 4) < 0 ؛ 3) (x + 3)/(x − 2) ≥ 0.
التمرين 5 (إشارة ثلاثية الحدود) : حل في ℝ : 1) x² − 4x − 5 ≤ 0 ؛ 2) −x² + 2x + 3 > 0 ؛ 3) x² + 2x + 5 > 0.
التمرين 6 (الأنظمة ومسألة) : 1) حل 2x + y = 7 و x − y = −1. 2) حل 3x + 2y = 12 و 2x − y = 1. 3) مجموع عددين 25 وفرقهما 7 : أوجد العددين.
تكملة الدرس : الشكل القانوني والقيم الممنوعة والمسائل (جذع مشترك)
الشكل القانوني
ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)]. هو الذي يعطي صيغة الحلول. مثال : x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4.
القيم الممنوعة
في (x + 3)/(x − 2) يجب استثناء x = 2 (مقام منعدم) قبل أي حل : القيمة الممنوعة ليست حلاً أبداً.
وضع مسألة في معادلة
نختار المجهول ونترجم كل جملة إلى معادلة ونحل ثم نتحقق من الحل في نص المسألة. مثال : مستطيل محيطه 30 ومساحته 56 : x² − 15x + 56 = 0 تعطي 7 و 8.
الصلة بالمستقيم في المستوى
حل نظمة معادلتين بمجهولين هو البحث عن تقاطع مستقيمين : D ≠ 0 إذا كانا متقاطعين.
الفرض المحروس مصحح : المعادلات والمتراجحات والأنظمة جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : حل في ℝ : 1) 4x − 7 = 2x + 5 (نقطة) ؛ 2) 2x² − 7x + 3 = 0 (نقطتان) ؛ 3) x² − 2x + 2 = 0 (نقطة) ؛ 4) 3x² − 12 = 0 (نقطة).
1) 2x = 12 إذن x = 6. 2) Δ = 49 − 24 = 25 ؛ x = (7 ± 5)/4 : S = {1/2 ; 3}. 3) Δ = 4 − 8 = −4 < 0 : S = ∅. 4) x² = 4 إذن S = {−2 ; 2}.
التمرين 2 (5 نقط) : حل في ℝ : 1) 3x + 1 < 7x − 11 (1,5 نقطة) ؛ 2) x² − x − 6 ≥ 0 (نقطتان) ؛ 3) (2x − 1)/(x + 3) > 0 (1,5 نقطة).
1) −4x < −12 إذن x > 3 : S = ]3, +∞[. 2) الجذران −2 و 3 و a > 0 : موجبة خارجهما إذن S = ]−∞, −2] ∪ [3, +∞[. 3) القيمة الممنوعة −3 ؛ الخارج ينعدم في 1/2 وهو موجب خارج [−3 ; 1/2] : S = ]−∞, −3[ ∪ ]1/2, +∞[.
التمرين 3 (5 نقط) : 1) حل بالتعويض x + 2y = 8 و 3x − y = 3 (نقطتان). 2) بيّن أن النظمة 2x + 3y = 13 و 4x + 6y = 26 لها عدد لانهائي من الحلول (1,5 نقطة). 3) أعط التأويل المبياني لنتيجة السؤال 2 (1,5 نقطة).
1) y = 3x − 3 ؛ x + 6x − 6 = 8 إذن x = 2 و y = 3. 2) المعادلة الثانية ضعف الأولى : كل حل للأولى حل للثانية. 3) المستقيمان منطبقان : D = 2 × 6 − 4 × 3 = 0 والمعادلتان متناسبتان.
التمرين 4 (5 نقط) : 1) مستطيل محيطه 30 م ومساحته 56 م². حدد بعديه (3 نقط). 2) حدد m لتقبل x² − 4x + m = 0 حلاً مضاعفاً (نقطتان).
1) نصف المحيط 15 : البعدان حلا x² − 15x + 56 = 0. Δ = 225 − 224 = 1 إذن x = (15 ± 1)/2 : 7 م و 8 م. 2) Δ = 16 − 4m = 0 إذن m = 4 (الحل المضاعف x = 2).
طرق أساسية لإنجاح فرض المعادلات والمتراجحات والأنظمة
حل معادلة من الدرجة الثانية
نضعها على شكل ax² + bx + c = 0 ونحسب Δ ثم نستنتج حسب إشارته. إذا كان c = 0 أو b = 0 يمكن التعميل مباشرة.
حل متراجحة جداء أو خارج
نعمّل ونبحث عن القيم التي تعدم كل عامل ونرسم جدول إشارات ونقرأ المجالات المطلوبة (مع استثناء القيم الممنوعة).
حل نظمة
نختار التعويض إذا كان مجهول سهل العزل وإلا فالتأليف. ونتحقق من الحل في المعادلتين.
وضع مسألة في معادلة
نسمي المجاهيل ونكتب المعادلات انطلاقاً من المعطيات ونحل ثم نتأكد أن الحل مقبول (طول موجب مثلاً).
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ نسيان عكس اتجاه المتراجحة عند الضرب أو القسمة على عدد سالب.
- ⚠️ الخطأ في إشارة Δ = b² − 4ac (خاصة عندما يكون a أو c سالباً).
- ⚠️ كتابة √Δ = ±… أو نسيان 2a في المقام ضمن صيغة الحلول.
- ⚠️ إدخال قيمة ممنوعة (مقام منعدم) ضمن مجموعة الحلول.
- ⚠️ استنتاج حل وحيد بينما D = 0 (لا حل أو عدد لانهائي من الحلول).
أسئلة شائعة حول المعادلات والمتراجحات والأنظمة
كيف نحل معادلة من الدرجة الثانية ؟
نحسب المميز Δ = b² − 4ac. إذا كان Δ > 0 فالحلان (−b ± √Δ)/(2a) ؛ وإذا كان Δ = 0 فالحل المضاعف −b/(2a) ؛ وإذا كان Δ < 0 فلا حل حقيقي.
ماذا يعني مميز سالب ؟
إذا كان Δ < 0 فالمعادلة ax² + bx + c = 0 ليس لها حل حقيقي : المنحنى لا يقطع محور الأفاصيل. مثلاً x² + 2x + 5 = 0 مميزها −16.
لماذا يتغير اتجاه المتراجحة ؟
الضرب أو القسمة على عدد سالب يعكس ترتيب الأعداد : −3x ≥ 9 تكافئ x ≤ −3.
كيف ندرس إشارة ثلاثية الحدود ax² + bx + c ؟
إذا كان Δ > 0 فهي من إشارة a خارج الجذرين ومن الإشارة المعاكسة بينهما. وإذا كان Δ < 0 فهي دائماً من إشارة a.
ما الطريقة التي نختارها لحل نظمة ؟
التعويض مناسب إذا كان مجهول سهل العزل ؛ والتأليف مناسب عندما يمكن حذف مجهول بجمع مضاعفات المعادلتين.
متى لا يكون للنظمة حل وحيد ؟
من أجل ax + by = c و a′x + b′y = c′ إذا كان ab′ − a′b = 0 فلا حل للنظمة (مستقيمان متوازيان) أو لها عدد لانهائي من الحلول (مستقيمان منطبقان).