Résumé du Cours : Équations, Inéquations et Systèmes
Télécharger le PDFLe chapitre Équations, inéquations et systèmes réunit les outils de résolution du Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF) : il s’appuie sur la factorisation (polynômes) et se prolonge dans l’étude des fonctions.
1. Équations du premier degré
- • ax + b = 0 avec a ≠ 0 a pour unique solution x = −b/a.
- • On résout en isolant x : 3(x − 2) = 5x + 4 donne 3x − 6 = 5x + 4, soit −2x = 10 et x = −5.
- • Avec des fractions, on multiplie par le plus petit commun multiple des dénominateurs.
2. Équations du second degré
- • ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0). Discriminant : Δ = b² − 4ac.
- • Δ > 0 : deux solutions x₁ = (−b − √Δ)/(2a) et x₂ = (−b + √Δ)/(2a).
- • Δ = 0 : une solution double x = −b/(2a). Δ < 0 : aucune solution réelle.
- • Exemple : 2x² − 5x + 2 = 0 : Δ = 25 − 16 = 9 et x = (5 ± 3)/4, soit 2 ou 1/2.
3. Somme, produit et factorisation
- • Si x₁ et x₂ sont les solutions : x₁ + x₂ = −b/a et x₁ × x₂ = c/a.
- • Deux nombres de somme S et de produit P sont les solutions de x² − Sx + P = 0. Exemple : S = 7, P = 12 donnent 3 et 4.
- • Si Δ ≥ 0 : ax² + bx + c = a(x − x₁)(x − x₂).
4. Inéquations du premier degré
- • On résout comme une équation, mais le sens s’inverse quand on multiplie ou divise par un nombre négatif : −3x ≥ 9 ⇔ x ≤ −3.
- • Signe de ax + b (a ≠ 0) : du signe de a pour x > −b/a, du signe de −a pour x < −b/a.
- • Produit ou quotient : on étudie le signe de chaque facteur dans un tableau de signes (valeurs interdites exclues).
5. Signe d’un trinôme
- • Δ > 0 : ax² + bx + c est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe de −a entre les racines.
- • Δ = 0 : du signe de a (nul en −b/(2a)). Δ < 0 : toujours du signe de a.
- • Exemple : x² − 4x − 5 ≤ 0 : racines −1 et 5, donc S = [−1, 5].
6. Systèmes de deux équations
- • ax + by = c et a′x + b′y = c′. Substitution : on exprime une inconnue puis on remplace. Combinaison : on additionne des multiples des équations.
- • D = ab′ − a′b ≠ 0 : une seule solution x = (cb′ − c′b)/D, y = (ac′ − a′c)/D.
- • D = 0 : aucune solution ou une infinité (droites parallèles ou confondues, voir « La droite dans le plan »).
Tableau récapitulatif : équations, inéquations et systèmes
| Objectif dans l’exercice | Propriété utilisée | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Résoudre ax + b = 0 | x = −b/a | 3x − 6 = 0 donne x = 2 |
| Équation du second degré | Δ = b² − 4ac puis x = (−b ± √Δ)/(2a) | x² − 5x + 6 = 0 : Δ = 1, solutions 2 et 3 |
| Pas de solution réelle | Δ < 0 | x² + 2x + 5 = 0 : Δ = −16 |
| Somme et produit | S = −b/a ; P = c/a | S = 8, P = 15 : 3 et 5 |
| Inéquation du premier degré | Sens inversé si on divise par un négatif | −3x ≥ 9 ⇔ x ≤ −3 |
| Signe d’un trinôme | Signe de a à l’extérieur des racines | x² − 1 ≤ 0 ⇔ x ∈ [−1, 1] |
| Système de deux équations | Substitution, combinaison ou D = ab′ − a′b | D ≠ 0 : une solution ; D = 0 : aucune ou une infinité |
📝 Série d’Exercices Corrigés : Équations, inéquations et systèmes (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur les équations, inéquations et systèmes. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».
Exercice 1 (Premier degré) : Résoudre dans ℝ : 1) 3(x − 2) = 5x + 4 ; 2) (x − 1)/2 + (x + 3)/3 = 4.
Exercice 2 (Second degré) : Résoudre dans ℝ : 1) 2x² − 5x + 2 = 0 ; 2) x² − 6x + 9 = 0 ; 3) x² + x + 1 = 0.
Exercice 3 (Somme, produit et factorisation) : 1) Trouver deux nombres dont la somme est 7 et le produit 12. 2) Factoriser 2x² − 5x + 2.
Exercice 4 (Inéquations) : Résoudre dans ℝ : 1) 2x − 3 ≥ 5x + 6 ; 2) (x − 1)(2x + 4) < 0 ; 3) (x + 3)/(x − 2) ≥ 0.
Exercice 5 (Signe d’un trinôme) : Résoudre dans ℝ : 1) x² − 4x − 5 ≤ 0 ; 2) −x² + 2x + 3 > 0 ; 3) x² + 2x + 5 > 0.
Exercice 6 (Systèmes et problème) : 1) Résoudre 2x + y = 7 et x − y = −1. 2) Résoudre 3x + 2y = 12 et 2x − y = 1. 3) La somme de deux nombres est 25 et leur différence est 7 : trouver ces nombres.
Complément de cours : forme canonique, valeurs interdites et problèmes (Tronc Commun)
Forme canonique
ax² + bx + c = a[(x + b/(2a))² − Δ/(4a²)]. C’est elle qui donne la formule des solutions. Exemple : x² − 6x + 5 = (x − 3)² − 4.
Valeurs interdites
Dans (x + 3)/(x − 2), on doit exclure x = 2 (dénominateur nul) avant toute résolution : la valeur interdite n’est jamais solution.
Mise en équation d’un problème
On choisit l’inconnue, on traduit chaque phrase par une équation, on résout, puis on vérifie la solution dans l’énoncé. Exemple : rectangle de périmètre 30 et d’aire 56 : x² − 15x + 56 = 0 donne 7 et 8.
Lien avec la droite dans le plan
Résoudre un système de deux équations à deux inconnues, c’est chercher l’intersection de deux droites : D ≠ 0 si elles sont sécantes.
Devoir surveillé corrigé : équations, inéquations et systèmes, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : Résoudre dans ℝ : 1) 4x − 7 = 2x + 5 (1 pt) ; 2) 2x² − 7x + 3 = 0 (2 pts) ; 3) x² − 2x + 2 = 0 (1 pt) ; 4) 3x² − 12 = 0 (1 pt).
1) 2x = 12 donc x = 6. 2) Δ = 49 − 24 = 25 ; x = (7 ± 5)/4 : S = {1/2 ; 3}. 3) Δ = 4 − 8 = −4 < 0 : S = ∅. 4) x² = 4 donc S = {−2 ; 2}.
Exercice 2 (5 pts) : Résoudre dans ℝ : 1) 3x + 1 < 7x − 11 (1,5 pt) ; 2) x² − x − 6 ≥ 0 (2 pts) ; 3) (2x − 1)/(x + 3) > 0 (1,5 pt).
1) −4x < −12 donc x > 3 : S = ]3, +∞[. 2) Racines −2 et 3, a > 0 : positif à l’extérieur, donc S = ]−∞, −2] ∪ [3, +∞[. 3) Valeur interdite −3 ; le quotient s’annule en 1/2 et est positif à l’extérieur de [−3 ; 1/2] : S = ]−∞, −3[ ∪ ]1/2, +∞[.
Exercice 3 (5 pts) : 1) Résoudre par substitution x + 2y = 8 et 3x − y = 3 (2 pts). 2) Montrer que le système 2x + 3y = 13 et 4x + 6y = 26 a une infinité de solutions (1,5 pt). 3) Interpréter graphiquement le résultat de la question 2 (1,5 pt).
1) y = 3x − 3 ; x + 6x − 6 = 8 donc x = 2 et y = 3. 2) La seconde équation est le double de la première : toute solution de l’une est solution de l’autre. 3) Les deux droites sont confondues : D = 2 × 6 − 4 × 3 = 0 et les équations sont proportionnelles.
Exercice 4 (5 pts) : 1) Un rectangle a pour périmètre 30 m et pour aire 56 m². Déterminer ses dimensions (3 pts). 2) Déterminer m pour que x² − 4x + m = 0 ait une solution double (2 pts).
1) Le demi-périmètre est 15 : les dimensions sont les solutions de x² − 15x + 56 = 0. Δ = 225 − 224 = 1 donc x = (15 ± 1)/2 : 7 m et 8 m. 2) Δ = 16 − 4m = 0 donc m = 4 (solution double x = 2).
Méthodes types pour réussir le contrôle sur les équations, inéquations et systèmes
Résoudre une équation du second degré
On met sous la forme ax² + bx + c = 0, on calcule Δ, puis on conclut selon son signe. Si c = 0 ou b = 0, on peut factoriser directement.
Résoudre une inéquation produit ou quotient
On factorise, on cherche les valeurs qui annulent chaque facteur, on dresse un tableau de signes et on lit les intervalles demandés (valeurs interdites exclues).
Résoudre un système
On choisit la substitution si une inconnue est facile à isoler, la combinaison sinon. On vérifie la solution dans les deux équations.
Mettre un problème en équation
On nomme les inconnues, on écrit les équations avec les données, on résout, puis on contrôle que la solution a un sens (longueur positive, par exemple).
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Oublier d’inverser le sens d’une inégalité quand on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- ⚠️ Se tromper de signe dans Δ = b² − 4ac (surtout quand a ou c est négatif).
- ⚠️ Écrire √Δ = ±… ou oublier le 2a au dénominateur dans la formule des solutions.
- ⚠️ Inclure une valeur interdite (dénominateur nul) dans l’ensemble des solutions.
- ⚠️ Conclure à une solution unique alors que le système a D = 0 (aucune ou une infinité de solutions).
Questions fréquentes sur les équations, inéquations et systèmes
Comment résoudre une équation du second degré ?
On calcule le discriminant Δ = b² − 4ac. Si Δ > 0, les solutions sont (−b ± √Δ)/(2a) ; si Δ = 0, la solution double est −b/(2a) ; si Δ < 0, il n’y a pas de solution réelle.
Que signifie un discriminant négatif ?
Si Δ < 0, l’équation ax² + bx + c = 0 n’a aucune solution réelle : la parabole ne coupe pas l’axe des abscisses. Par exemple x² + 2x + 5 = 0 a pour discriminant −16.
Pourquoi le sens de l’inégalité change-t-il ?
Multiplier ou diviser par un nombre négatif retourne l’ordre des nombres : −3x ≥ 9 équivaut à x ≤ −3.
Comment étudier le signe d’un trinôme ax² + bx + c ?
Si Δ > 0, il est du signe de a à l’extérieur des racines et du signe opposé entre elles. Si Δ < 0, il a toujours le signe de a.
Quelle méthode choisir pour résoudre un système ?
La substitution convient si une inconnue est facile à isoler ; la combinaison convient quand on peut éliminer une inconnue en additionnant des multiples des équations.
Quand un système n’a-t-il pas de solution unique ?
Pour ax + by = c et a′x + b′y = c′, si ab′ − a′b = 0 le système n’a aucune solution (droites parallèles) ou une infinité (droites confondues).