Résumé du Cours : Polynômes
Télécharger le PDFLe chapitre Polynômes prolonge les identités remarquables : il sert à factoriser et à résoudre des équations dans le Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF).
1. Définitions
- • Un polynôme est une expression P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ avec aₙ ≠ 0. L’entier n est son degré et aₙ son coefficient dominant.
- • Exemple : P(x) = 3x³ − 2x + 5 est de degré 3 (le coefficient de x² est 0).
- • Deux polynômes sont égaux ⇔ ils ont les mêmes coefficients (identification).
- • Le polynôme nul n’a pas de degré.
2. Opérations
- • On additionne et on multiplie en développant : (x + 1)(x² − x + 1) = x³ + 1.
- • deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q).
- • Pour P ≠ 0 et Q ≠ 0 : deg(P × Q) = deg P + deg Q.
3. Racines
- • Un réel a est une racine de P ⇔ P(a) = 0.
- • Exemple : P(x) = x² − 5x + 6 : P(2) = 0 et P(3) = 0, donc 2 et 3 sont des racines.
- • Une racine entière de P (à coefficients entiers) divise le terme constant a₀.
4. Factorisation par x − a
- • a est racine de P ⇔ P(x) = (x − a)Q(x) avec deg Q = deg P − 1.
- • Exemple : P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 : P(1) = 0 donc P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
5. Division euclidienne par x − a
- • P(x) = (x − a)Q(x) + R où le reste R est un réel égal à P(a).
- • Exemple : P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5 et a = 2 : P(2) = 16 − 12 + 2 − 5 = 1. Le quotient est Q(x) = 2x² + x + 3.
- • Le schéma de Horner donne Q : on abaisse 2, puis on multiplie par a et on additionne colonne par colonne.
6. Division euclidienne de deux polynômes
- • Pour B ≠ 0 : A(x) = B(x)Q(x) + R(x) avec deg R < deg B.
- • Exemple : x³ + 2x² − x + 3 = (x² + 1)(x + 2) + (−2x + 1).
- • A est divisible par B ⇔ R = 0.
Tableau récapitulatif : polynômes, racines et division euclidienne
| Objectif dans l’exercice | Propriété utilisée | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Degré d’un produit | deg(P × Q) = deg P + deg Q | deg P = 2 et deg Q = 3 donnent 5 |
| Égalité de polynômes | Mêmes coefficients de même degré | On identifie puis on résout le système |
| a est-il racine ? | On calcule P(a) | P(2) = 0 pour x² − 5x + 6 |
| Factoriser | P(a) = 0 ⇒ P(x) = (x − a)Q(x) | On trouve Q par Horner ou identification |
| Reste par x − a | R = P(a) | x² + x + 1 par x − 1 : reste 3 |
| Divisibilité par x − a | P(a) = 0 | P(x) = x³ + ax + 6 divisible par x + 1 si a = 5 |
| Division de deux polynômes | A = BQ + R avec deg R < deg B | On divise terme dominant par terme dominant |
📝 Série d’Exercices Corrigés : Polynômes (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur les polynômes. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».
Exercice 1 (Opérations) : Soient P(x) = 2x³ − x + 4 et Q(x) = x² + 3x − 1. 1) Donner le degré et le coefficient dominant de P et de Q. 2) Calculer P + Q et P − Q. 3) Calculer P × Q.
Exercice 2 (Identification) : Déterminer les réels a, b, c tels que (x − 1)(ax² + bx + c) = x³ − 3x² + x + 1 pour tout réel x.
Exercice 3 (Racines et factorisation) : Soit P(x) = x³ − 4x² + x + 6. 1) Vérifier que −1 est une racine. 2) Factoriser P(x). 3) En déduire toutes les racines de P.
Exercice 4 (Division par x − a) : Soit P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5. 1) Calculer le reste de la division de P par x − 2 sans l’effectuer. 2) Déterminer le quotient.
Exercice 5 (Division euclidienne) : Effectuer la division euclidienne de A(x) = x³ + 2x² − x + 3 par B(x) = x² + 1.
Exercice 6 (Paramètres) : Déterminer a, b pour que P(x) = x³ + ax + b soit divisible par x − 1 et par x + 2, puis factoriser P.
Complément de cours : Horner, racines entières et liens avec les identités remarquables
Schéma de Horner
Pour diviser P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5 par x − 2 : on écrit les coefficients 2, −3, 1, −5, on abaisse 2, puis chaque case = coefficient + 2 × la case précédente. On lit 2, 1, 3 (quotient) et 1 (reste).
Racines entières
Si P a des coefficients entiers, toute racine entière divise le terme constant. Pour x³ − 6x² + 11x − 6 on teste les diviseurs de −6 : 1, 2, 3 sont des racines.
Lien avec les identités remarquables
a² − b² = (a − b)(a + b) est la factorisation d’un polynôme de degré 2 : par exemple x² − 9 = (x − 3)(x + 3) a pour racines 3 et −3.
Racine double
Dans (x − 1)²(x + 2), la racine 1 est double : le facteur x − 1 apparaît deux fois.
Devoir surveillé n°3 corrigé : polynômes, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : Soit P(x) = x³ − 7x + 6. 1) Montrer que 1 est une racine de P (1 pt). 2) Factoriser P(x) (2 pts). 3) En déduire toutes les racines de P (2 pts).
1) P(1) = 1 − 7 + 6 = 0. 2) P(x) = (x − 1)(x² + x − 6) et x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3), donc P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3). 3) Les racines sont 1, 2, −3.
Exercice 2 (5 pts) : Soit P(x) = x³ − 2x² − 5x + 7. 1) Calculer le reste de la division de P par x − 3 sans l’effectuer (1,5 pt). 2) Effectuer cette division (2 pts). 3) En déduire que x³ − 2x² − 5x + 6 est divisible par x − 3 (1,5 pt).
1) Le reste est P(3) = 27 − 18 − 15 + 7 = 1. 2) Horner avec a = 3 : 1 ; −2 + 3 = 1 ; −5 + 3 = −2 ; 7 − 6 = 1. Donc P(x) = (x − 3)(x² + x − 2) + 1. 3) P(x) − 1 = x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 3)(x² + x − 2) : divisible par x − 3.
Exercice 3 (5 pts) : Effectuer la division euclidienne de A(x) = x⁴ + 2x³ − x + 5 par B(x) = x² + x + 1 (3 pts), puis vérifier le résultat en développant (2 pts).
x⁴ + 2x³ − x + 5 − x²(x² + x + 1) = x³ − x² − x + 5 ; puis − x(x² + x + 1) donne −2x² − 2x + 5 ; puis + 2(x² + x + 1) donne 7. Donc A(x) = (x² + x + 1)(x² + x − 2) + 7. Vérification : (x² + x + 1)(x² + x − 2) = x⁴ + 2x³ − x − 2, et en ajoutant 7 on retrouve A(x).
Exercice 4 (5 pts) : Soit P(x) = x³ + ax² + bx − 6 admettant 1 et 2 pour racines. 1) Déterminer a et b (3 pts). 2) Factoriser P(x) (2 pts).
1) P(1) = 0 donne a + b = 5 ; P(2) = 0 donne 4a + 2b = −2, soit 2a + b = −1. Par soustraction : a = −6 et b = 11. 2) P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) (la somme des racines vaut 6, donc la troisième est 3).
Méthodes types pour réussir le contrôle sur les polynômes
Montrer qu’un réel est racine
On calcule P(a) : si le résultat est 0, a est racine.
Factoriser un polynôme
On cherche une racine évidente (±1, ±2…, diviseurs du terme constant), puis on écrit P(x) = (x − a)Q(x) avec Horner ou identification.
Trouver un reste
Pour une division par x − a, le reste est P(a) : inutile d’effectuer la division.
Déterminer des paramètres
On traduit chaque condition (racine, divisibilité) par une équation P(a) = 0, puis on résout le système.
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Oublier le coefficient 0 d’un terme manquant dans le schéma de Horner (par exemple x³ − 7x + 6 a pour coefficients 1, 0, −7, 6).
- ⚠️ Écrire (x − a) au lieu de (x + a) : si −2 est racine, le facteur est x + 2.
- ⚠️ Croire que deg(P + Q) = deg P + deg Q : c’est vrai pour le produit seulement.
- ⚠️ Arrêter la division avant que deg R < deg B.
- ⚠️ Oublier de vérifier le résultat en développant (x − a)Q(x) + R.
Questions fréquentes sur les polynômes
Qu’est-ce qu’un polynôme ?
Un polynôme est une expression de la forme aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. Son degré est le plus grand exposant dont le coefficient n’est pas nul.
Comment trouver le degré d’un produit de polynômes ?
Pour deux polynômes non nuls, le degré du produit est la somme des degrés : deg(P × Q) = deg P + deg Q.
Qu’est-ce qu’une racine d’un polynôme ?
Un réel a est une racine de P si P(a) = 0. Par exemple 2 est une racine de x² − 5x + 6 car 4 − 10 + 6 = 0.
Comment factoriser un polynôme par x − a ?
Si P(a) = 0, alors P(x) = (x − a)Q(x). On obtient Q par le schéma de Horner ou par identification des coefficients.
Quel est le reste de la division d’un polynôme par x − a ?
Le reste est le nombre P(a). Par exemple le reste de la division de x² + x + 1 par x − 1 est 1 + 1 + 1 = 3.
Comment faire la division euclidienne de deux polynômes ?
On divise le terme dominant de A par celui de B, on soustrait, et on recommence jusqu’à obtenir un reste de degré strictement inférieur à celui de B : A = BQ + R.