ملخص شامل لدرس الحدوديات
تحميل ملف PDFدرس الحدوديات يوسع المتطابقات الهامة : يستعمل للتعميل وحل المعادلات في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي.
1. تعاريف
- • الحدودية تعبير P(x) = aₙxⁿ + … + a₁x + a₀ مع aₙ ≠ 0. العدد الصحيح n هو درجتها و aₙ معاملها الرئيسي.
- • مثال : P(x) = 3x³ − 2x + 5 درجتها 3 (معامل x² هو 0).
- • تكون حدوديتان متساويتين ⇔ لهما نفس المعاملات (مطابقة المعاملات).
- • الحدودية المنعدمة ليس لها درجة.
2. العمليات
- • نجمع ونضرب بالنشر : (x + 1)(x² − x + 1) = x³ + 1.
- • deg(P + Q) ≤ max(deg P, deg Q).
- • من أجل P ≠ 0 و Q ≠ 0 : deg(P × Q) = deg P + deg Q.
3. الجذور
- • العدد الحقيقي a جذر للحدودية P ⇔ P(a) = 0.
- • مثال : P(x) = x² − 5x + 6 : P(2) = 0 و P(3) = 0 إذن 2 و 3 جذران.
- • كل جذر صحيح لحدودية معاملاتها صحيحة يقسم الحد الثابت a₀.
4. التعميل بـ x − a
- • a جذر للحدودية P ⇔ P(x) = (x − a)Q(x) مع deg Q = deg P − 1.
- • مثال : P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 : P(1) = 0 إذن P(x) = (x − 1)(x² − 5x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x − 3).
5. القسمة الإقليدية على x − a
- • P(x) = (x − a)Q(x) + R حيث الباقي R عدد حقيقي يساوي P(a).
- • مثال : P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5 و a = 2 : P(2) = 16 − 12 + 2 − 5 = 1. خارج القسمة Q(x) = 2x² + x + 3.
- • يعطي مخطط هورنر الخارج Q : ننزل 2 ثم نضرب في a ونجمع عموداً بعمود.
6. القسمة الإقليدية لحدوديتين
- • من أجل B ≠ 0 : A(x) = B(x)Q(x) + R(x) مع deg R < deg B.
- • مثال : x³ + 2x² − x + 3 = (x² + 1)(x + 2) + (−2x + 1).
- • A قابلة للقسمة على B ⇔ R = 0.
جدول ملخص : الحدوديات والجذور والقسمة الإقليدية
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| درجة جداء | deg(P × Q) = deg P + deg Q | deg P = 2 و deg Q = 3 تعطيان 5 |
| تساوي حدوديتين | نفس المعاملات لنفس الدرجة | نطابق ثم نحل النظمة |
| هل a جذر ؟ | نحسب P(a) | P(2) = 0 بالنسبة إلى x² − 5x + 6 |
| التعميل | P(a) = 0 ⇒ P(x) = (x − a)Q(x) | نجد Q بهورنر أو بالمطابقة |
| الباقي على x − a | R = P(a) | x² + x + 1 على x − 1 : الباقي 3 |
| القابلية للقسمة على x − a | P(a) = 0 | P(x) = x³ + ax + 6 قابلة للقسمة على x + 1 إذا كان a = 5 |
| قسمة حدوديتين | A = BQ + R مع deg R < deg B | نقسم الحد الرئيسي على الحد الرئيسي |
📝 سلسلة تمارين محلولة : الحدوديات (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول الحدوديات. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (العمليات) : لتكن P(x) = 2x³ − x + 4 و Q(x) = x² + 3x − 1. 1) أعط درجة ومعامل رئيسي كل من P و Q. 2) احسب P + Q و P − Q. 3) احسب P × Q.
التمرين 2 (المطابقة) : حدد الأعداد الحقيقية a, b, c بحيث (x − 1)(ax² + bx + c) = x³ − 3x² + x + 1 لكل عدد حقيقي x.
التمرين 3 (الجذور والتعميل) : لتكن P(x) = x³ − 4x² + x + 6. 1) تحقق أن −1 جذر. 2) عمّل P(x). 3) استنتج جميع جذور P.
التمرين 4 (القسمة على x − a) : لتكن P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5. 1) احسب باقي قسمة P على x − 2 دون إجراء القسمة. 2) حدد خارج القسمة.
التمرين 5 (القسمة الإقليدية) : أنجز القسمة الإقليدية للحدودية A(x) = x³ + 2x² − x + 3 على B(x) = x² + 1.
التمرين 6 (الوسائط) : حدد a, b لتكون P(x) = x³ + ax + b قابلة للقسمة على x − 1 وعلى x + 2 ثم عمّل P.
تكملة الدرس : هورنر والجذور الصحيحة والصلة بالمتطابقات الهامة
مخطط هورنر
لقسمة P(x) = 2x³ − 3x² + x − 5 على x − 2 : نكتب المعاملات 2, −3, 1, −5 وننزل 2 ثم كل خانة = المعامل + 2 × الخانة السابقة. نقرأ 2, 1, 3 (الخارج) و 1 (الباقي).
الجذور الصحيحة
إذا كانت معاملات P صحيحة فإن كل جذر صحيح يقسم الحد الثابت. بالنسبة إلى x³ − 6x² + 11x − 6 نختبر قواسم −6 : 1, 2, 3 جذور.
الصلة بالمتطابقات الهامة
a² − b² = (a − b)(a + b) تعميل لحدودية من الدرجة 2 : مثلاً x² − 9 = (x − 3)(x + 3) جذراها 3 و −3.
جذر مضاعف
في (x − 1)²(x + 2) الجذر 1 مضاعف : العامل x − 1 يظهر مرتين.
الفرض المحروس رقم 3 مصحح : الحدوديات جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : لتكن P(x) = x³ − 7x + 6. 1) بيّن أن 1 جذر للحدودية P (نقطة). 2) عمّل P(x) (نقطتان). 3) استنتج جميع جذور P (نقطتان).
1) P(1) = 1 − 7 + 6 = 0. 2) P(x) = (x − 1)(x² + x − 6) و x² + x − 6 = (x − 2)(x + 3) إذن P(x) = (x − 1)(x − 2)(x + 3). 3) الجذور هي 1, 2, −3.
التمرين 2 (5 نقط) : لتكن P(x) = x³ − 2x² − 5x + 7. 1) احسب باقي قسمة P على x − 3 دون إجرائها (1,5 نقطة). 2) أنجز هذه القسمة (نقطتان). 3) استنتج أن x³ − 2x² − 5x + 6 قابلة للقسمة على x − 3 (1,5 نقطة).
1) الباقي هو P(3) = 27 − 18 − 15 + 7 = 1. 2) هورنر مع a = 3 : 1 ؛ −2 + 3 = 1 ؛ −5 + 3 = −2 ؛ 7 − 6 = 1. إذن P(x) = (x − 3)(x² + x − 2) + 1. 3) P(x) − 1 = x³ − 2x² − 5x + 6 = (x − 3)(x² + x − 2) : قابلة للقسمة على x − 3.
التمرين 3 (5 نقط) : أنجز القسمة الإقليدية للحدودية A(x) = x⁴ + 2x³ − x + 5 على B(x) = x² + x + 1 (3 نقط) ثم تحقق من النتيجة بالنشر (نقطتان).
x⁴ + 2x³ − x + 5 − x²(x² + x + 1) = x³ − x² − x + 5 ؛ ثم − x(x² + x + 1) تعطي −2x² − 2x + 5 ؛ ثم + 2(x² + x + 1) تعطي 7. إذن A(x) = (x² + x + 1)(x² + x − 2) + 7. التحقق : (x² + x + 1)(x² + x − 2) = x⁴ + 2x³ − x − 2 وبإضافة 7 نجد A(x).
التمرين 4 (5 نقط) : لتكن P(x) = x³ + ax² + bx − 6 تقبل 1 و 2 جذرين. 1) حدد a و b (3 نقط). 2) عمّل P(x) (نقطتان).
1) P(1) = 0 تعطي a + b = 5 ؛ P(2) = 0 تعطي 4a + 2b = −2 أي 2a + b = −1. بالطرح : a = −6 و b = 11. 2) P(x) = x³ − 6x² + 11x − 6 = (x − 1)(x − 2)(x − 3) (مجموع الجذور يساوي 6 إذن الجذر الثالث 3).
طرق أساسية لإنجاح فرض الحدوديات
إثبات أن عدداً جذر
نحسب P(a) : إذا كانت النتيجة 0 فإن a جذر.
تعميل حدودية
نبحث عن جذر بديهي (±1, ±2… وقواسم الحد الثابت) ثم نكتب P(x) = (x − a)Q(x) بهورنر أو بالمطابقة.
إيجاد باقي
في القسمة على x − a الباقي هو P(a) : لا حاجة لإجراء القسمة.
تحديد وسائط
نترجم كل شرط (جذر، قابلية القسمة) إلى معادلة P(a) = 0 ثم نحل النظمة.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ نسيان المعامل 0 لحد غائب في مخطط هورنر (مثلاً x³ − 7x + 6 معاملاتها 1, 0, −7, 6).
- ⚠️ كتابة (x − a) عوض (x + a) : إذا كان −2 جذراً فالعامل هو x + 2.
- ⚠️ اعتبار أن deg(P + Q) = deg P + deg Q : هذا صحيح بالنسبة إلى الجداء فقط.
- ⚠️ إيقاف القسمة قبل أن يصبح deg R < deg B.
- ⚠️ نسيان التحقق من النتيجة بنشر (x − a)Q(x) + R.
أسئلة شائعة حول الحدوديات
ما هي الحدودية ؟
الحدودية تعبير على شكل aₙxⁿ + … + a₁x + a₀. درجتها هي أكبر أس معامله غير منعدم.
كيف نجد درجة جداء حدوديتين ؟
بالنسبة إلى حدوديتين غير منعدمتين درجة الجداء هي مجموع الدرجتين : deg(P × Q) = deg P + deg Q.
ما هو جذر حدودية ؟
العدد الحقيقي a جذر للحدودية P إذا كان P(a) = 0. مثلاً 2 جذر للحدودية x² − 5x + 6 لأن 4 − 10 + 6 = 0.
كيف نعمّل حدودية بـ x − a ؟
إذا كان P(a) = 0 فإن P(x) = (x − a)Q(x). نحصل على Q بمخطط هورنر أو بمطابقة المعاملات.
ما هو باقي قسمة حدودية على x − a ؟
الباقي هو العدد P(a). مثلاً باقي قسمة x² + x + 1 على x − 1 هو 1 + 1 + 1 = 3.
كيف ننجز القسمة الإقليدية لحدوديتين ؟
نقسم الحد الرئيسي لـ A على الحد الرئيسي لـ B ثم نطرح ونعيد العملية إلى أن نحصل على باق درجته أصغر قطعاً من درجة B : A = BQ + R.