ملخص شامل لدرس حساب المثلثات 1
تحميل ملف PDFدرس حساب المثلثات 1 يربط بين الزوايا والأطوال في مثلث قائم الزاوية ويمهد لحساب المثلثات في الدائرة (حساب المثلثات 2) في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي.
1. النسب المثلثية
- • ABC قائم الزاوية في A و α هي الزاوية في B. الضلع المقابل للزاوية B هو AC والضلع المجاور هو AB والوتر هو BC.
- • sin α = AC/BC ؛ cos α = AB/BC ؛ tan α = AC/AB.
- • مثال : AB = 3 و AC = 4 و BC = 5 تعطي sin B = 4/5 و cos B = 3/5 و tan B = 4/3.
2. القيم الخاصة
- • sin 30° = 1/2 ؛ cos 30° = √3/2 ؛ tan 30° = √3/3.
- • sin 45° = √2/2 ؛ cos 45° = √2/2 ؛ tan 45° = 1.
- • sin 60° = √3/2 ؛ cos 60° = 1/2 ؛ tan 60° = √3.
3. العلاقات المثلثية
- • من أجل زاوية حادة α : 0 < sin α < 1 و 0 < cos α < 1.
- • cos²α + sin²α = 1 (مبرهنة فيثاغورس في المثلث القائم الزاوية).
- • tan α = sin α / cos α و 1 + tan²α = 1/cos²α.
4. الزاويتان المتتامتان
- • تكون زاويتان حادتان α و β متتامتين إذا كان α + β = 90°.
- • cos(90° − α) = sin α ؛ sin(90° − α) = cos α ؛ tan(90° − α) = 1/tan α.
- • أمثلة : sin 20° = cos 70° و tan 30° × tan 60° = 1.
5. حساب طول أو زاوية
- • الطول : نختار النسبة التي تربط الزاوية المعلومة والضلع المعلوم والضلع المطلوب. مثال : وتر 10 وزاوية 30° : الضلع المقابل = 10 sin 30° = 5.
- • الزاوية : نحسب نسبة ثم نستعمل الآلة الحاسبة (الأزرار sin⁻¹ و cos⁻¹ و tan⁻¹).
- • تكمل مبرهنة فيثاغورس هذه الحسابات : BC² = AB² + AC².
6. تطبيقات
- • ارتفاع شجرة نراها بزاوية 60° على بعد 10 م : h = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17,3 م.
- • سلم طوله 5 م مائل بزاوية 60° : الارتفاع الذي يبلغه 5 sin 60° = 5√3/2 ≈ 4,33 م والمسافة إلى الحائط 5 cos 60° = 2,5 م.
- • لتبسيط تعبير نفكر في cos²α + sin²α = 1.
جدول ملخص : النسب المثلثية والزوايا الخاصة
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| جيب زاوية حادة | sin α = المقابل / الوتر | AC = 4 و BC = 5 : sin B = 4/5 |
| جيب تمام زاوية حادة | cos α = المجاور / الوتر | AB = 3 و BC = 5 : cos B = 3/5 |
| ظل زاوية حادة | tan α = المقابل / المجاور | tan B = 4/3 |
| قيم 30° و 45° و 60° | جدول الزوايا الخاصة | sin 30° = 1/2 ؛ cos 45° = √2/2 ؛ tan 60° = √3 |
| إيجاد cos أو sin | cos²α + sin²α = 1 | sin α = 3/5 تعطي cos α = 4/5 |
| الانتقال من sin و cos إلى tan | tan α = sin α / cos α | sin = 1/2 و cos = √3/2 : tan = √3/3 |
| الزاويتان المتتامتان | cos(90° − α) = sin α | sin 20° = cos 70° |
📝 سلسلة تمارين محلولة : حساب المثلثات 1 (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول حساب المثلثات في المثلث القائم الزاوية. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (النسب في مثلث قائم الزاوية) : ABC قائم الزاوية في A مع AB = 6 و AC = 8. احسب BC ثم sin B و cos B و tan B و sin C و cos C و tan C.
التمرين 2 (القيم الخاصة) : احسب دون آلة حاسبة : 1) A = sin 30° + cos 60° − tan 45° ؛ 2) B = sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° ؛ 3) C = tan 60° × tan 30°.
التمرين 3 (إيجاد باقي النسب) : 1) α حادة و cos α = 5/13 : احسب sin α و tan α. 2) β حادة و tan β = 2 : احسب cos β و sin β.
التمرين 4 (التبسيط والبرهان) : من أجل x حادة : 1) بسّط (sin x + cos x)² + (sin x − cos x)² ؛ 2) بيّن أن (1 − sin x)(1 + sin x) = cos²x ؛ 3) بيّن أن 1/(1 + tan²x) = cos²x.
التمرين 5 (تطبيقات) : 1) نرى شجرة بزاوية 60° من نقطة تبعد 10 م عن قاعدتها. ما ارتفاعها ؟ 2) سلم طوله 5 م يصنع زاوية 60° مع الأرض : ما الارتفاع الذي يبلغه وما بعده عن الحائط ؟
التمرين 6 (الزاويتان المتتامتان) : بسّط : 1) sin 25° − cos 65° ؛ 2) cos²10° + cos²80° ؛ 3) tan 20° × tan 70°.
تكملة الدرس : جدول الزوايا الخاصة وطرق الحفظ والآلة الحاسبة
حفظ الجدول
بالنسبة إلى sin للزوايا 0°, 30°, 45°, 60°, 90° : √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. وجيب التمام يقرأ الجدول نفسه بالعكس.
طريقة الحفظ SOH-CAH-TOA
الجيب = المقابل / الوتر ؛ جيب التمام = المجاور / الوتر ؛ الظل = المقابل / المجاور.
استعمال الآلة الحاسبة
تأكد أن الآلة الحاسبة في وضع الدرجات (DEG). لإيجاد زاوية : sin⁻¹(0,5) = 30°. لا نقرّب إلا في نهاية الحساب.
الصلة بفيثاغورس
نحصل على cos²α + sin²α = 1 بقسمة AB² + AC² = BC² على BC².
الفرض المحروس مصحح : حساب المثلثات 1 جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : ABC قائم الزاوية في B مع AB = 5 و BC = 12. 1) احسب AC (نقطة). 2) احسب sin A و cos A و tan A (نقطتان). 3) احسب sin C و cos C (نقطة). 4) تحقق أن cos²A + sin²A = 1 (نقطة).
1) AC² = 25 + 144 = 169 إذن AC = 13. 2) sin A = BC/AC = 12/13 ؛ cos A = AB/AC = 5/13 ؛ tan A = 12/5. 3) sin C = AB/AC = 5/13 و cos C = BC/AC = 12/13. 4) 25/169 + 144/169 = 1.
التمرين 2 (5 نقط) : احسب : 1) E = 2 cos 60° + √3 tan 30° − √2 sin 45° (نقطتان) ؛ 2) F = sin²30° + cos²30° + tan²45° (1,5 نقطة). 3) بيّن أن sin 60° = 2 sin 30° cos 30° (1,5 نقطة).
1) E = 2 × 1/2 + √3 × √3/3 − √2 × √2/2 = 1 + 1 − 1 = 1. 2) F = 1/4 + 3/4 + 1 = 2. 3) 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2 = sin 60°.
التمرين 3 (5 نقط) : α زاوية حادة بحيث sin α = 4/5. 1) احسب cos α (1,5 نقطة). 2) احسب tan α (نقطة). 3) احسب 1/(1 + tan²α) وقارنه مع cos²α (1,5 نقطة). 4) أعط sin(90° − α) (نقطة).
1) cos²α = 1 − 16/25 = 9/25 إذن cos α = 3/5. 2) tan α = (4/5)/(3/5) = 4/3. 3) 1/(1 + 16/9) = 9/25 = cos²α. 4) sin(90° − α) = cos α = 3/5.
التمرين 4 (5 نقط) : ABC متساوي الساقين في A مع AB = AC = 10 و BC = 12. H منتصف [BC]. 1) احسب AH (نقطتان). 2) احسب sin B و cos B و tan B (نقطتان). 3) استنتج cos B̂AH (نقطة).
1) (AH) ارتفاع : BH = 6 و AH² = 100 − 36 = 64 إذن AH = 8. 2) sin B = AH/AB = 4/5 ؛ cos B = BH/AB = 3/5 ؛ tan B = 4/3. 3) B̂AH = 90° − B إذن cos B̂AH = sin B = 4/5.
طرق أساسية لإنجاح فرض حساب المثلثات
اختيار النسبة المناسبة
نحدد الزاوية ثم نسمي الأضلاع : المقابل والمجاور والوتر. النسبة المستعملة تربط الضلع المعلوم بالضلع المطلوب.
إيجاد cos أو sin أو tan
بالعلاقتين cos²α + sin²α = 1 و tan α = sin α / cos α. وبما أن الزاوية حادة نأخذ الجذر الموجب.
استعمال الزوايا الخاصة
نعوض كل نسبة بقيمتها الدقيقة (1/2 و √2/2 و √3/2…) ثم نحسب مع تبسيط الجذور.
إثبات متساوية
ننطلق من أحد الطرفين ونستعمل cos²α + sin²α = 1 أو 1 + tan²α = 1/cos²α ونصل إلى الطرف الآخر.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ الخلط بين الضلع المقابل والضلع المجاور : يتعلقان بالزاوية المختارة.
- ⚠️ كتابة sin²α + cos α = 1 : العلاقة هي sin²α + cos²α = 1.
- ⚠️ نسيان وضع الآلة الحاسبة في وضع الدرجات.
- ⚠️ استعمال sin 30° = √3/2 : sin 30° = 1/2 و sin 60° = √3/2.
- ⚠️ التقريب مبكراً : نحتفظ بالقيم الدقيقة (√3 و √2) إلى النتيجة النهائية.
أسئلة شائعة حول حساب المثلثات
كيف نعرف الجيب وجيب التمام والظل ؟
في مثلث قائم الزاوية ومن أجل زاوية حادة α : sin α = المقابل / الوتر و cos α = المجاور / الوتر و tan α = المقابل / المجاور.
ما هي قيم sin و cos و tan للزوايا 30° و 45° و 60° ؟
sin 30° = 1/2 و cos 30° = √3/2 و tan 30° = √3/3 ؛ sin 45° = cos 45° = √2/2 و tan 45° = 1 ؛ sin 60° = √3/2 و cos 60° = 1/2 و tan 60° = √3.
كيف نجد cos α إذا عرفنا sin α ؟
نستعمل cos²α + sin²α = 1. إذا كان sin α = 3/5 والزاوية حادة فإن cos²α = 1 − 9/25 = 16/25 إذن cos α = 4/5.
ما هما الزاويتان المتتامتان ؟
زاويتان مجموعهما 90°. حينئذ cos(90° − α) = sin α و sin(90° − α) = cos α. مثلاً sin 20° = cos 70°.
كيف نحسب ارتفاع شجرة بحساب المثلثات ؟
إذا رأيناها بزاوية α من مسافة d فإن الارتفاع h = d × tan α. مثلاً على بعد 10 م مع α = 60° : h = 10√3 ≈ 17,3 م.
كيف ننتقل من sin و cos إلى tan ؟
tan α = sin α / cos α. مثلاً مع sin α = 1/2 و cos α = √3/2 نجد tan α = 1/√3 = √3/3.