Trigonométrie 1 Tronc Commun BIOF : Cours et Exercices

Q: Comment définir sinus, cosinus et tangente ?

Dans un triangle rectangle, pour un angle aigu α : sin α = côté opposé / hypoténuse, cos α = côté adjacent / hypoténuse et tan α = côté opposé / côté adjacent.

Q: Quelles sont les valeurs de sin, cos et tan pour 30°, 45° et 60° ?

sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tan 30° = √3/3 ; sin 45° = cos 45° = √2/2, tan 45° = 1 ; sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3.

Q: Comment retrouver cos α quand on connaît sin α ?

On utilise cos²α + sin²α = 1. Si sin α = 3/5 et α est aigu, cos²α = 1 − 9/25 = 16/25, donc cos α = 4/5.

Q: Que sont deux angles complémentaires ?

Deux angles dont la somme vaut 90°. Alors cos(90° − α) = sin α et sin(90° − α) = cos α. Par exemple sin 20° = cos 70°.

Q: Comment calculer la hauteur d’un arbre avec la trigonométrie ?

Si on le voit sous un angle α à une distance d, la hauteur est h = d × tan α. Par exemple, à 10 m avec α = 60° : h = 10√3 ≈ 17,3 m.

Q: Comment passer de sin et cos à tan ?

tan α = sin α / cos α. Par exemple avec sin α = 1/2 et cos α = √3/2, tan α = 1/√3 = √3/3.

Résumé du Cours : Trigonométrie 1

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Le chapitre Trigonométrie 1 relie les angles et les longueurs d’un triangle rectangle ; il prépare la trigonométrie du cercle (Trigonométrie 2) en Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF).

1. Rapports trigonométriques

• ABC est rectangle en A et α est l’angle en B. Le côté opposé à B est AC, le côté adjacent est AB, l’hypoténuse est BC.
• sin α = AC/BC ; cos α = AB/BC ; tan α = AC/AB.
• Exemple : AB = 3, AC = 4, BC = 5 donnent sin B = 4/5, cos B = 3/5 et tan B = 4/3.

2. Valeurs remarquables

• sin 30° = 1/2 ; cos 30° = √3/2 ; tan 30° = √3/3.
• sin 45° = √2/2 ; cos 45° = √2/2 ; tan 45° = 1.
• sin 60° = √3/2 ; cos 60° = 1/2 ; tan 60° = √3.

3. Relations trigonométriques

• Pour un angle aigu α : 0 < sin α < 1 et 0 < cos α < 1.
• cos²α + sin²α = 1 (théorème de Pythagore dans le triangle rectangle).
• tan α = sin α / cos α et 1 + tan²α = 1/cos²α.

4. Angles complémentaires

• Deux angles aigus α et β sont complémentaires si α + β = 90°.
• cos(90° − α) = sin α ; sin(90° − α) = cos α ; tan(90° − α) = 1/tan α.
• Exemples : sin 20° = cos 70° et tan 30° × tan 60° = 1.

5. Calculer une longueur ou un angle

• Longueur : on choisit le rapport qui relie l’angle connu, le côté connu et le côté cherché. Exemple : hypoténuse 10 et angle 30° : côté opposé = 10 sin 30° = 5.
• Angle : on calcule un rapport, puis on utilise la calculatrice (touches sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).
• Le théorème de Pythagore complète ces calculs : BC² = AB² + AC².

6. Applications

• Hauteur d’un arbre vu sous un angle de 60° à 10 m : h = 10 × tan 60° = 10√3 ≈ 17,3 m.
• Échelle de 5 m inclinée de 60° : hauteur atteinte 5 sin 60° = 5√3/2 ≈ 4,33 m ; distance au mur 5 cos 60° = 2,5 m.
• Pour simplifier une expression, on pense à cos²α + sin²α = 1.

Tableau récapitulatif : rapports trigonométriques et angles remarquables

Objectif dans l’exercice	Propriété utilisée	Résultat / Astuce
Sinus d’un angle aigu	sin α = opposé / hypoténuse	AC = 4, BC = 5 : sin B = 4/5
Cosinus d’un angle aigu	cos α = adjacent / hypoténuse	AB = 3, BC = 5 : cos B = 3/5
Tangente d’un angle aigu	tan α = opposé / adjacent	tan B = 4/3
Valeurs de 30°, 45°, 60°	Tableau des angles remarquables	sin 30° = 1/2 ; cos 45° = √2/2 ; tan 60° = √3
Retrouver cos ou sin	cos²α + sin²α = 1	sin α = 3/5 donne cos α = 4/5
Passer de sin et cos à tan	tan α = sin α / cos α	sin = 1/2, cos = √3/2 : tan = √3/3
Angles complémentaires	cos(90° − α) = sin α	sin 20° = cos 70°

📝 Série d’Exercices Corrigés : Trigonométrie 1 (Tronc Commun BIOF)

Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur la trigonométrie dans le triangle rectangle. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».

Exercice 1 (Rapports dans un triangle rectangle) : ABC est rectangle en A avec AB = 6 et AC = 8. Calculer BC, puis sin B, cos B, tan B, sin C, cos C et tan C.

Exercice 2 (Valeurs remarquables) : Calculer sans calculatrice : 1) A = sin 30° + cos 60° − tan 45° ; 2) B = sin 60° cos 30° + sin 30° cos 60° ; 3) C = tan 60° × tan 30°.

Exercice 3 (Retrouver les autres rapports) : 1) α est aigu et cos α = 5/13 : calculer sin α et tan α. 2) β est aigu et tan β = 2 : calculer cos β et sin β.

Exercice 4 (Simplifier et démontrer) : Pour x aigu : 1) simplifier (sin x + cos x)² + (sin x − cos x)² ; 2) montrer que (1 − sin x)(1 + sin x) = cos²x ; 3) montrer que 1/(1 + tan²x) = cos²x.

Exercice 5 (Applications) : 1) Un arbre est vu sous un angle de 60° depuis un point situé à 10 m de son pied. Quelle est sa hauteur ? 2) Une échelle de 5 m fait un angle de 60° avec le sol : à quelle hauteur arrive-t-elle et à quelle distance du mur est-elle ?

Exercice 6 (Angles complémentaires) : Simplifier : 1) sin 25° − cos 65° ; 2) cos²10° + cos²80° ; 3) tan 20° × tan 70°.

Complément de cours : tableau des angles remarquables, mnémotechnique et calculatrice

Retenir le tableau

Pour sin de 0°, 30°, 45°, 60°, 90° : √0/2, √1/2, √2/2, √3/2, √4/2. Le cosinus lit le même tableau à l’envers.

Mnémotechnique SOH-CAH-TOA

Sinus = Opposé / Hypoténuse ; Cosinus = Adjacent / Hypoténuse ; Tangente = Opposé / Adjacent.

Utiliser la calculatrice

Vérifier que la calculatrice est en degrés (DEG). Pour trouver un angle : sin⁻¹(0,5) = 30°. Arrondir seulement à la fin du calcul.

Lien avec Pythagore

cos²α + sin²α = 1 s’obtient en divisant AB² + AC² = BC² par BC².

Devoir surveillé corrigé : trigonométrie 1, Tronc Commun

Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.

Exercice 1 (5 pts) : ABC est rectangle en B avec AB = 5 et BC = 12. 1) Calculer AC (1 pt). 2) Calculer sin A, cos A, tan A (2 pts). 3) Calculer sin C et cos C (1 pt). 4) Vérifier que cos²A + sin²A = 1 (1 pt).

1) AC² = 25 + 144 = 169 donc AC = 13. 2) sin A = BC/AC = 12/13 ; cos A = AB/AC = 5/13 ; tan A = 12/5. 3) sin C = AB/AC = 5/13 et cos C = BC/AC = 12/13. 4) 25/169 + 144/169 = 1.

Exercice 2 (5 pts) : Calculer : 1) E = 2 cos 60° + √3 tan 30° − √2 sin 45° (2 pts) ; 2) F = sin²30° + cos²30° + tan²45° (1,5 pt). 3) Montrer que sin 60° = 2 sin 30° cos 30° (1,5 pt).

1) E = 2 × 1/2 + √3 × √3/3 − √2 × √2/2 = 1 + 1 − 1 = 1. 2) F = 1/4 + 3/4 + 1 = 2. 3) 2 × 1/2 × √3/2 = √3/2 = sin 60°.

Exercice 3 (5 pts) : α est un angle aigu tel que sin α = 4/5. 1) Calculer cos α (1,5 pt). 2) Calculer tan α (1 pt). 3) Calculer 1/(1 + tan²α) et comparer avec cos²α (1,5 pt). 4) Donner sin(90° − α) (1 pt).

1) cos²α = 1 − 16/25 = 9/25 donc cos α = 3/5. 2) tan α = (4/5)/(3/5) = 4/3. 3) 1/(1 + 16/9) = 9/25 = cos²α. 4) sin(90° − α) = cos α = 3/5.

Exercice 4 (5 pts) : ABC est isocèle en A avec AB = AC = 10 et BC = 12. H est le milieu de [BC]. 1) Calculer AH (2 pts). 2) Calculer sin B, cos B, tan B (2 pts). 3) En déduire cos B̂AH (1 pt).

1) (AH) est une hauteur : BH = 6 et AH² = 100 − 36 = 64 donc AH = 8. 2) sin B = AH/AB = 4/5 ; cos B = BH/AB = 3/5 ; tan B = 4/3. 3) B̂AH = 90° − B donc cos B̂AH = sin B = 4/5.

Méthodes types pour réussir le contrôle de trigonométrie

Choisir le bon rapport

On repère l’angle, puis on nomme les côtés opposé, adjacent et hypoténuse. Le rapport à utiliser relie le côté connu et le côté cherché.

Retrouver cos, sin ou tan

Avec cos²α + sin²α = 1 et tan α = sin α / cos α. L’angle étant aigu, on garde la racine positive.

Utiliser les angles remarquables

On remplace chaque rapport par sa valeur exacte (1/2, √2/2, √3/2…), puis on calcule en simplifiant les racines.

Démontrer une égalité

On part d’un membre, on utilise cos²α + sin²α = 1 ou 1 + tan²α = 1/cos²α et on arrive à l’autre membre.

Erreurs fréquentes à éviter

⚠️ Confondre côté opposé et côté adjacent : ils dépendent de l’angle choisi.
⚠️ Écrire sin²α + cos α = 1 : la relation est sin²α + cos²α = 1.
⚠️ Oublier de passer la calculatrice en degrés.
⚠️ Utiliser sin 30° = √3/2 : sin 30° = 1/2 et sin 60° = √3/2.
⚠️ Arrondir trop tôt : on garde les valeurs exactes (√3, √2) jusqu’au résultat final.

Questions fréquentes sur la trigonométrie

Comment définir sinus, cosinus et tangente ?