ملخص شامل لدرس حساب المثلثات 2
تحميل ملف PDFدرس حساب المثلثات 2 يوسع نسب المثلث القائم الزاوية إلى كل الأعداد الحقيقية بفضل الدائرة المثلثية في الجذع المشترك العلمي والتكنولوجي.
1. الراديان والدائرة المثلثية
- • الدائرة المثلثية مركزها O وشعاعها 1 مع الاتجاه الموجب (عكس اتجاه عقارب الساعة).
- • π rad = 180° : x° = x × π/180 راديان. أمثلة : 30° = π/6 و 45° = π/4 و 60° = π/3 و 90° = π/2 و 120° = 2π/3 و 150° = 5π/6.
- • الراديان هو الزاوية التي تحصر قوساً طوله يساوي الشعاع.
2. الأفصول المنحني والقياس الرئيسي
- • لنقطة M من الدائرة عدد لانهائي من الأفاصيل المنحنية : x + 2kπ مع k ∈ ℤ.
- • القياس الرئيسي هو الذي ينتمي إلى ]−π, π].
- • أمثلة : 7π/3 = π/3 + 2π قياسه الرئيسي π/3 ؛ 11π/6 = −π/6 + 2π قياسه الرئيسي −π/6.
3. جيب التمام والجيب لعدد حقيقي
- • النقطة ذات الأفصول المنحني x إحداثياتها (cos x , sin x).
- • −1 ≤ cos x ≤ 1 ؛ −1 ≤ sin x ≤ 1 ؛ cos²x + sin²x = 1 ؛ cos(x + 2kπ) = cos x و sin(x + 2kπ) = sin x.
- • tan x = sin x / cos x من أجل cos x ≠ 0.
4. القيم الخاصة
- • x = 0 : cos = 1 و sin = 0. x = π/6 : cos = √3/2 و sin = 1/2.
- • x = π/4 : cos = sin = √2/2. x = π/3 : cos = 1/2 و sin = √3/2.
- • x = π/2 : cos = 0 و sin = 1. x = π : cos = −1 و sin = 0.
5. الزوايا المرتبطة
- • cos(−x) = cos x ؛ sin(−x) = −sin x.
- • cos(π − x) = −cos x ؛ sin(π − x) = sin x. cos(π + x) = −cos x ؛ sin(π + x) = −sin x.
- • cos(π/2 − x) = sin x ؛ sin(π/2 − x) = cos x. مثال : cos(2π/3) = cos(π − π/3) = −1/2.
6. المعادلات المثلثية
- • cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ أو x = −a + 2kπ. sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ أو x = π − a + 2kπ. tan x = tan a ⇔ x = a + kπ.
- • مثال : cos x = 1/2 على ]−π, π] : x = π/3 أو x = −π/3.
- • مثال : sin x = 1/2 على [0, 2π[ : x = π/6 أو x = 5π/6.
جدول ملخص : الدائرة المثلثية والراديان والزوايا المرتبطة
| الهدف في التمرين | الخاصية المستعملة | النتيجة / ملاحظة |
|---|---|---|
| من الدرجات إلى الراديان | x° = x × π/180 | 60° = π/3 ؛ 150° = 5π/6 |
| من الراديان إلى الدرجات | x rad = x × 180/π | 3π/4 = 135° |
| القياس الرئيسي | نطرح أو نضيف 2π لنصبح في ]−π, π] | 7π/3 تعطي π/3 ؛ 11π/6 تعطي −π/6 |
| إحداثيات على الدائرة | M(x) = (cos x , sin x) | cos²x + sin²x = 1 |
| الزاوية المقابلة | cos(−x) = cos x ؛ sin(−x) = −sin x | cos(−π/4) = √2/2 |
| الزاوية المكملة | cos(π − x) = −cos x ؛ sin(π − x) = sin x | cos(2π/3) = −1/2 |
| حل cos x = cos a | x = ± a + 2kπ | cos x = 1/2 : x = ± π/3 + 2kπ |
📝 سلسلة تمارين محلولة : حساب المثلثات 2 (جذع مشترك)
تدرب على هذه التمارين الستة الأساسية حول الدائرة المثلثية. ابحث أولاً في المسودة ثم اضغط على « عرض الحل ».
التمرين 1 (الدرجات والراديان) : 1) حول إلى راديان : 45° ؛ 120° ؛ 150° ؛ 225°. 2) حول إلى درجات : 5π/6 ؛ 7π/4 ؛ π/10.
التمرين 2 (القياس الرئيسي) : حدد القياس الرئيسي لـ : 13π/3 ؛ −7π/4 ؛ 25π/6 ؛ 11π/4.
التمرين 3 (قيم بالزوايا المرتبطة) : احسب : cos(2π/3) ؛ sin(5π/6) ؛ cos(−π/4) ؛ sin(7π/6) ؛ tan(3π/4).
التمرين 4 (التبسيط) : بسّط : 1) A = cos(π − x) + cos(π + x) ؛ 2) B = sin(π − x) − sin(−x) ؛ 3) C = cos²(π/2 − x) + cos²x.
التمرين 5 (المعادلات) : حل : 1) 2cos x − 1 = 0 في ]−π, π] ؛ 2) sin x = −√2/2 في [0, 2π[ ؛ 3) tan x = √3 في ]−π/2, π/2[.
التمرين 6 (الإشارات والقيم) : 1) x ∈ ]π/2, π[ و sin x = 3/5 : احسب cos x و tan x. 2) x ∈ ]π, 3π/2[ و cos x = −5/13 : احسب sin x.
تكملة الدرس : الأرباع والإشارات والقراءة على الدائرة
الإشارات حسب الربع
الربع الأول ]0, π/2[ : cos > 0 و sin > 0. الثاني ]π/2, π[ : cos < 0 و sin > 0. الثالث ]π, 3π/2[ : cos < 0 و sin < 0. الرابع ]3π/2, 2π[ : cos > 0 و sin < 0.
طول قوس
على دائرة شعاعها R طول قوس زاويته θ راديان هو L = R × θ. مثال : R = 3 و θ = π/3 تعطيان L = π ≈ 3,14.
القراءة على الدائرة
من أجل sin x = 1/2 نرسم المستقيم الأفقي الذي أرتوبه 1/2 : يقطع الدائرة في نقطتين ومنه x = π/6 و x = 5π/6 على [0, 2π[.
الصلة بحساب المثلثات 1
من أجل زاوية حادة α نجد cos α و sin α للمثلث القائم : الدائرة تمدد هذه النسب إلى كل الأعداد الحقيقية.
الفرض المحروس مصحح : حساب المثلثات 2 جذع مشترك علمي
المدة المقترحة : ساعة واحدة. سلم التنقيط : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 نقطة. ابحث أولاً ثم افتح التصحيح.
التمرين 1 (5 نقط) : 1) حول 72° إلى راديان (نقطة). 2) حول 7π/12 إلى درجات (نقطة). 3) القياس الرئيسي لـ 29π/6 (1,5 نقطة). 4) القياس الرئيسي لـ −19π/4 (1,5 نقطة).
1) 72 × π/180 = 2π/5. 2) 7 × 180/12 = 105°. 3) 29π/6 = 5π/6 + 4π : القياس الرئيسي 5π/6. 4) −19π/4 + 4π = −3π/4 : القياس الرئيسي −3π/4.
التمرين 2 (5 نقط) : احسب (نقطة لكل سؤال) : 1) cos(5π/6) ؛ 2) sin(−π/3) ؛ 3) cos(4π/3) ؛ 4) sin(11π/6) ؛ 5) tan(5π/4).
1) cos(π − π/6) = −√3/2. 2) −sin(π/3) = −√3/2. 3) cos(π + π/3) = −1/2. 4) sin(2π − π/6) = −sin(π/6) = −1/2. 5) tan(π + π/4) = tan(π/4) = 1.
التمرين 3 (5 نقط) : 1) بسّط A = cos(π + x) + sin(π/2 − x) (1,5 نقطة). 2) بيّن أن (cos x + sin x)² + (cos x − sin x)² = 2 (1,5 نقطة). 3) x ∈ ]π/2, π[ و sin x = 5/13 : احسب cos x و tan x (نقطتان).
1) A = −cos x + cos x = 0. 2) بالنشر : 2cos²x + 2sin²x = 2. 3) cos²x = 1 − 25/169 = 144/169 و cos x < 0 على ]π/2, π[ : cos x = −12/13 ؛ tan x = (5/13)/(−12/13) = −5/12.
التمرين 4 (5 نقط) : حل : 1) 2sin x − √3 = 0 في [0, 2π[ (نقطتان) ؛ 2) cos x = −1/2 في ]−π, π] (1,5 نقطة) ؛ 3) tan x = −1 في ]−π/2, π/2[ (1,5 نقطة).
1) sin x = √3/2 : x = π/3 أو x = 2π/3. 2) cos x = cos(2π/3) : x = 2π/3 أو x = −2π/3. 3) tan x = tan(−π/4) : x = −π/4.
طرق أساسية لإنجاح فرض حساب المثلثات 2
إيجاد القياس الرئيسي
نضيف أو نطرح مضاعفات 2π إلى أن نصبح في ]−π, π]. ويمكن قسمة البسط على ضعف المقام لعد الدورات.
الحساب بالزوايا المرتبطة
نكتب الزاوية على شكل π − a أو π + a أو −a أو π/2 − a مع a زاوية خاصة ثم نطبق الصيغة.
حل معادلة مثلثية
نرجع المعادلة إلى cos x = cos a أو sin x = sin a أو tan x = tan a ثم نكتب الحلول ونحتفظ بتلك التي في المجال المطلوب.
إيجاد الإشارة
نحدد ربع x : يعطي إشارة cos x و sin x قبل اختيار الجذر الموجب أو السالب.
أخطاء شائعة يجب تجنبها
- ⚠️ الخلط بين الدرجات والراديان : π/3 راديان تساوي 60°.
- ⚠️ نسيان أن القياس الرئيسي ينتمي إلى ]−π, π] وليس [0, 2π[.
- ⚠️ كتابة cos(π − x) = cos x : في الحقيقة cos(π − x) = −cos x.
- ⚠️ نسيان العائلة الثانية من الحلول : sin x = 1/2 تعطي π/6 و 5π/6.
- ⚠️ الاحتفاظ بالجذر الموجب دون النظر إلى الربع (قد تكون إشارة cos x أو sin x سالبة).
أسئلة شائعة حول حساب المثلثات 2
كيف نحول الدرجات إلى راديان ؟
نستعمل π rad = 180° : x درجة تساوي x × π/180 راديان. مثلاً 60° = 60π/180 = π/3.
ما هو القياس الرئيسي لزاوية ؟
هو القياس الوحيد للزاوية الذي ينتمي إلى المجال ]−π, π]. مثلاً القياس الرئيسي لـ 7π/3 هو π/3 لأن 7π/3 = π/3 + 2π.
ماذا يمثل cos x و sin x على الدائرة المثلثية ؟
إذا كانت M النقطة ذات الأفصول المنحني x فإن cos x هو أفصول M و sin x هو أرتوبها. ولدينا cos²x + sin²x = 1.
كيف نحسب cos(2π/3) ؟
نكتب 2π/3 = π − π/3. إذن cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
كيف نحل cos x = 1/2 ؟
نلاحظ أن 1/2 = cos(π/3). إذن x = π/3 + 2kπ أو x = −π/3 + 2kπ. على ]−π, π] الحلان هما π/3 و −π/3.
كيف نجد إشارة cos x و sin x ؟
نحدد الربع : في الربع الثاني cos سالب و sin موجب، وفي الثالث كلاهما سالب، وفي الرابع cos موجب و sin سالب.