Résumé du Cours : Trigonométrie 2
Télécharger le PDFLe chapitre Trigonométrie 2 étend les rapports du triangle rectangle à tous les réels grâce au cercle trigonométrique, dans le Tronc Commun Scientifique et Technologique (BIOF).
1. Radian et cercle trigonométrique
- • Le cercle trigonométrique a pour centre O et pour rayon 1, avec le sens direct (inverse des aiguilles d’une montre).
- • π rad = 180° : x° = x × π/180 radians. Exemples : 30° = π/6, 45° = π/4, 60° = π/3, 90° = π/2, 120° = 2π/3, 150° = 5π/6.
- • Un radian est l’angle qui intercepte un arc de longueur égale au rayon.
2. Abscisse curviligne et mesure principale
- • Un point M du cercle a une infinité d’abscisses curvilignes : x + 2kπ avec k ∈ ℤ.
- • La mesure principale est celle qui appartient à ]−π, π].
- • Exemples : 7π/3 = π/3 + 2π a pour mesure principale π/3 ; 11π/6 = −π/6 + 2π a pour mesure principale −π/6.
3. Cosinus et sinus d’un réel
- • Le point d’abscisse curviligne x a pour coordonnées (cos x , sin x).
- • −1 ≤ cos x ≤ 1 ; −1 ≤ sin x ≤ 1 ; cos²x + sin²x = 1 ; cos(x + 2kπ) = cos x et sin(x + 2kπ) = sin x.
- • tan x = sin x / cos x pour cos x ≠ 0.
4. Valeurs remarquables
- • x = 0 : cos = 1, sin = 0. x = π/6 : cos = √3/2, sin = 1/2.
- • x = π/4 : cos = sin = √2/2. x = π/3 : cos = 1/2, sin = √3/2.
- • x = π/2 : cos = 0, sin = 1. x = π : cos = −1, sin = 0.
5. Angles associés
- • cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x.
- • cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x. cos(π + x) = −cos x ; sin(π + x) = −sin x.
- • cos(π/2 − x) = sin x ; sin(π/2 − x) = cos x. Exemple : cos(2π/3) = cos(π − π/3) = −1/2.
6. Équations trigonométriques
- • cos x = cos a ⇔ x = a + 2kπ ou x = −a + 2kπ. sin x = sin a ⇔ x = a + 2kπ ou x = π − a + 2kπ. tan x = tan a ⇔ x = a + kπ.
- • Exemple : cos x = 1/2 sur ]−π, π] : x = π/3 ou x = −π/3.
- • Exemple : sin x = 1/2 sur [0, 2π[ : x = π/6 ou x = 5π/6.
Tableau récapitulatif : cercle trigonométrique, radians et angles associés
| Objectif dans l’exercice | Propriété utilisée | Résultat / Astuce |
|---|---|---|
| Degrés en radians | x° = x × π/180 | 60° = π/3 ; 150° = 5π/6 |
| Radians en degrés | x rad = x × 180/π | 3π/4 = 135° |
| Mesure principale | On retire ou on ajoute des 2π pour être dans ]−π, π] | 7π/3 donne π/3 ; 11π/6 donne −π/6 |
| Coordonnées sur le cercle | M(x) = (cos x , sin x) | cos²x + sin²x = 1 |
| Angle opposé | cos(−x) = cos x ; sin(−x) = −sin x | cos(−π/4) = √2/2 |
| Angle supplémentaire | cos(π − x) = −cos x ; sin(π − x) = sin x | cos(2π/3) = −1/2 |
| Résoudre cos x = cos a | x = ± a + 2kπ | cos x = 1/2 : x = ± π/3 + 2kπ |
📝 Série d’Exercices Corrigés : Trigonométrie 2 (Tronc Commun BIOF)
Entraînez-vous sur ces 6 exercices incontournables sur le cercle trigonométrique. Cherchez au brouillon, puis cliquez sur « Afficher le corrigé ».
Exercice 1 (Degrés et radians) : 1) Convertir en radians : 45° ; 120° ; 150° ; 225°. 2) Convertir en degrés : 5π/6 ; 7π/4 ; π/10.
Exercice 2 (Mesure principale) : Déterminer la mesure principale de : 13π/3 ; −7π/4 ; 25π/6 ; 11π/4.
Exercice 3 (Valeurs avec les angles associés) : Calculer : cos(2π/3) ; sin(5π/6) ; cos(−π/4) ; sin(7π/6) ; tan(3π/4).
Exercice 4 (Simplifier) : Simplifier : 1) A = cos(π − x) + cos(π + x) ; 2) B = sin(π − x) − sin(−x) ; 3) C = cos²(π/2 − x) + cos²x.
Exercice 5 (Équations) : Résoudre : 1) 2cos x − 1 = 0 dans ]−π, π] ; 2) sin x = −√2/2 dans [0, 2π[ ; 3) tan x = √3 dans ]−π/2, π/2[.
Exercice 6 (Signes et valeurs) : 1) x ∈ ]π/2, π[ et sin x = 3/5 : calculer cos x et tan x. 2) x ∈ ]π, 3π/2[ et cos x = −5/13 : calculer sin x.
Complément de cours : quadrants, signes et lecture sur le cercle
Signes selon le quadrant
1er quadrant ]0, π/2[ : cos > 0, sin > 0. 2e ]π/2, π[ : cos < 0, sin > 0. 3e ]π, 3π/2[ : cos < 0, sin < 0. 4e ]3π/2, 2π[ : cos > 0, sin < 0.
Longueur d’un arc
Sur un cercle de rayon R, un arc d’angle θ radians a pour longueur L = R × θ. Exemple : R = 3 et θ = π/3 donnent L = π ≈ 3,14.
Lire sur le cercle
Pour sin x = 1/2, on trace la droite horizontale d’ordonnée 1/2 : elle coupe le cercle en deux points, d’où x = π/6 et x = 5π/6 sur [0, 2π[.
Lien avec la trigonométrie 1
Pour un angle aigu α, on retrouve cos α et sin α du triangle rectangle : le cercle prolonge ces rapports à tous les réels.
Devoir surveillé corrigé : trigonométrie 2, Tronc Commun
Durée conseillée : 1 heure. Barème : 5 + 5 + 5 + 5 = 20 points. Cherche d’abord, puis ouvre la correction.
Exercice 1 (5 pts) : 1) Convertir 72° en radians (1 pt). 2) Convertir 7π/12 en degrés (1 pt). 3) Mesure principale de 29π/6 (1,5 pt). 4) Mesure principale de −19π/4 (1,5 pt).
1) 72 × π/180 = 2π/5. 2) 7 × 180/12 = 105°. 3) 29π/6 = 5π/6 + 4π : mesure principale 5π/6. 4) −19π/4 + 4π = −3π/4 : mesure principale −3π/4.
Exercice 2 (5 pts) : Calculer (1 pt chacun) : 1) cos(5π/6) ; 2) sin(−π/3) ; 3) cos(4π/3) ; 4) sin(11π/6) ; 5) tan(5π/4).
1) cos(π − π/6) = −√3/2. 2) −sin(π/3) = −√3/2. 3) cos(π + π/3) = −1/2. 4) sin(2π − π/6) = −sin(π/6) = −1/2. 5) tan(π + π/4) = tan(π/4) = 1.
Exercice 3 (5 pts) : 1) Simplifier A = cos(π + x) + sin(π/2 − x) (1,5 pt). 2) Montrer que (cos x + sin x)² + (cos x − sin x)² = 2 (1,5 pt). 3) x ∈ ]π/2, π[ et sin x = 5/13 : calculer cos x et tan x (2 pts).
1) A = −cos x + cos x = 0. 2) En développant : 2cos²x + 2sin²x = 2. 3) cos²x = 1 − 25/169 = 144/169 et cos x < 0 sur ]π/2, π[ : cos x = −12/13 ; tan x = (5/13)/(−12/13) = −5/12.
Exercice 4 (5 pts) : Résoudre : 1) 2sin x − √3 = 0 dans [0, 2π[ (2 pts) ; 2) cos x = −1/2 dans ]−π, π] (1,5 pt) ; 3) tan x = −1 dans ]−π/2, π/2[ (1,5 pt).
1) sin x = √3/2 : x = π/3 ou x = 2π/3. 2) cos x = cos(2π/3) : x = 2π/3 ou x = −2π/3. 3) tan x = tan(−π/4) : x = −π/4.
Méthodes types pour réussir le contrôle sur la trigonométrie 2
Trouver la mesure principale
On ajoute ou on retire des multiples de 2π jusqu’à tomber dans ]−π, π]. On peut diviser le numérateur par le double du dénominateur pour compter les tours.
Calculer avec les angles associés
On écrit l’angle sous la forme π − a, π + a, −a ou π/2 − a avec a remarquable, puis on applique la formule.
Résoudre une équation trigonométrique
On ramène l’équation à cos x = cos a, sin x = sin a ou tan x = tan a, puis on écrit les solutions et on garde celles de l’intervalle demandé.
Trouver le signe
On repère le quadrant de x : il donne le signe de cos x et de sin x avant de choisir la racine positive ou négative.
Erreurs fréquentes à éviter
- ⚠️ Confondre degrés et radians : π/3 radians vaut 60°, pas 3,14/3 °.
- ⚠️ Oublier que la mesure principale est dans ]−π, π] et non dans [0, 2π[.
- ⚠️ Écrire cos(π − x) = cos x : en réalité cos(π − x) = −cos x.
- ⚠️ Oublier la deuxième famille de solutions : sin x = 1/2 donne π/6 et 5π/6.
- ⚠️ Garder la racine positive sans regarder le quadrant (le signe de cos x ou de sin x peut être négatif).
Questions fréquentes sur la trigonométrie 2
Comment convertir des degrés en radians ?
On utilise π rad = 180° : x degrés valent x × π/180 radians. Par exemple 60° = 60π/180 = π/3.
Qu’est-ce que la mesure principale d’un angle ?
C’est l’unique mesure de l’angle qui appartient à l’intervalle ]−π, π]. Par exemple la mesure principale de 7π/3 est π/3, car 7π/3 = π/3 + 2π.
Que représentent cos x et sin x sur le cercle trigonométrique ?
Si M est le point d’abscisse curviligne x, alors cos x est l’abscisse de M et sin x son ordonnée. On a cos²x + sin²x = 1.
Comment calculer cos(2π/3) ?
On écrit 2π/3 = π − π/3. Alors cos(2π/3) = −cos(π/3) = −1/2.
Comment résoudre cos x = 1/2 ?
On remarque que 1/2 = cos(π/3). Donc x = π/3 + 2kπ ou x = −π/3 + 2kπ. Sur ]−π, π], les solutions sont π/3 et −π/3.
Comment trouver le signe de cos x et sin x ?
On repère le quadrant : dans le 2e quadrant cos est négatif et sin positif, dans le 3e les deux sont négatifs, dans le 4e cos est positif et sin négatif.